Аргументы максимизации и минимизации

Аргуме́нт максимиза́ции (argmax или arg max) — значение аргумента, при котором данное выражение достигает максимума. Другими словами, $\underset{x}{\operatorname{argmax}} \, f(x)$ — есть значение $x~$, при котором $f(x)~$ достигает своего наибольшего значения. Является решением задачи максимизации функции конечного числа аргументов ^[1].

$\underset{x}{\operatorname{argmax}} \, f(x) \quad\in\quad \{x\ |\ \forall y : f(y) \le f(x)\}$

Аргумент максимизации определяется единственным образом тогда и только тогда, когда максимум достигается в единственной точке: $x_0 = \underset{x}{\operatorname{argmax}} \, f(x) \Leftrightarrow \max f(x) = f(x_0)$

Если же максимум достигается в нескольких точках, то argmax может быть расширен до набора решений.

Аргуме́нт минимиза́ции (argmin или arg min) — аргумент, при котором данное выражение достигает минимума.

$\underset{x}{\operatorname{argmin}} \, f(x) \quad\in\quad \{x\ |\ \forall y : f(y) \ge f(x)\}$

Примеры

• $\underset{x\in \Bbb{R}}{\operatorname{argmax}} (x(10-x)) = 5$, так как максимум функции, равный 25, достигается при $x=5~$.
• $\underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{argmax}} \, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}$, так как $\max {\cos x}=1~$ на отрезке $[0,4\pi]$ достигается при $x=0, 2\pi, 4\pi~$

Примечания

1. ↑ Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — Т. 3. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — 1184 с.: ил.