Двойное отношение

Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четверки чисел $a$, $b$, $c$, $d$ (вещественных или комплексных) определяется как

$(ab,cd)=\frac{c-a}{c-b}: \frac{d-a}{d-b}.$

Свойства

• Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.
• $(ab,cd)=\frac{1}{(ba,cd)}=\frac{1}{(ab,dc)}=1-(ac,bd)$
• $(ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)$

Вариации и обобщения

Двойным (или сложным) отношением четверки точек $A$, $B$, $C$, $D$, лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число

$(AB,CD)=\frac{c-a}{c-b}: \frac{d-a}{d-b},$

где через $a$, $b$, $c$, $d$ обозначены координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$ соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:

$(AB,CD)=\frac{AC}{BC}: \frac{AD}{BD},$

подразумевая, что через $AC/BC$ (соответственно $AD/BD$) обозначено отношение направленных отрезков.

• Двойное отношение четверки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.

Двойным отношением четверки прямых $a$, $b$, $c$, $d$, проходящих через одну точку, называют число

$(ab,cd)=\pm\frac{\sin(a,c)}{\sin(b,c)}: \frac{\sin(a, d)}{\sin(b,d)},$

знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми $a$ и $b$, не пересекается ни с одной из прямых $c$ или $d$ (в этом случае говорят, что пара прямых $a$ и $b$ не разделяет пару прямых $c$ и $d$), то $(ab,cd)>0$; в противном случае $(ab,cd)<0$.

• Пусть четверка прямых $a$, $b$, $c$, $d$ проходит через точку $O$, а прямая $\ell$ не содержит $O$. Предположим прямые $a$, $b$, $c$, $d$ пересекаются с $\ell$ соответственно в точках $A$, $B$, $C$ и $D$. Тогда

  $(ab,cd)=(AB,CD).$

См. также

• Гармоническая четвёрка точек и прямых
• Простое отношение
• Пропорциональные отрезки

Ссылки

• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика?
• Ангармоническое отношение точек // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Шаль, Мишель. Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.