Список операторов

Данный список содержит математические преобразования, кроме интегральных преобразований.

Выражение	Задание кривой	Переменные	Описание
Линейные преобразования
$L[y]=y^{(n)} \$			Производная n-го порядка
$L[y]=\int\limits_a^t\limits\! y \,dt$	Декартовы координаты	$y=y(t)$ $x=t$	Интеграл, площадь
$L[y]=y\circ f$			Оператор композиции
$L[y]=\frac{y\circ t+y\circ -t}{2}$			Четная часть
$L[y]=\frac{y\circ t-y\circ -t}{2}$			Нечетная часть
$L[y] =-(py')'+qy \,$			Оператор Штурма-Лиувилля
Нелинейные преобразования
$F[y]=y^{-1}=\operatorname{inv}\,y$			Обратная функция
$F[y]=t\,\operatorname{inv}\,y' - y\circ\operatorname{inv}\,y'$			Преобразование Лежандра
$F[y]=f\circ y$			Левая композиция
$F[y]=\frac{y'}{y}$			Логарифмическая производная
$F[y]=\int\limits_a^t\limits\!|y'|\,dt$			Полная вариация
$F[y]=\frac{1}{t-a}\int\limits_a^t\limits\! y\,dt$			Среднее значение
$F[y]=\exp \left( \frac{1}{t-a}\int\limits_a^t\limits\! \ln y\,dt \right)$			Среднее геометрическое
$F[y]= -\frac{y}{y'}$	Декартовы координаты	$y=y(x)$ $x=t$	Подкасательная
$F[x,y]= -\frac{yx'}{y'}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[y]= -\frac{y^2}{y'}$	Полярные координаты	$y=r(\phi)$ $\phi=t$
$F[y]=\frac{1}{2}\int\limits_a^t\limits\! y^2 dt$	Полярные координаты	$y=r(\phi)$ $\phi=t$	Площадь
$F[y]= \int\limits_a^t\limits\!\sqrt { 1 + y'^2 }\, dt$	Декартовы координаты	$y=y(t)$ $x=t$	Длина дуги
$F[x,y]= \int\limits_a^t\limits\!\sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[y]= \int\limits_a^t\limits\! \sqrt { y^2 + y'^2 }\, dt$	Полярные координаты	$y=r(\phi)$ $\phi=t$
$F[y]=\frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}$	Декартовы координаты	$y=y(t)$ $x=t$	Кривизна
$F[x,y]= \frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[y]=\frac{y^2+2y'^2-yy''}{(y^2+y'^2)^{3/2}}$	Полярные координаты	$y=r(\phi)$ $\phi=t$
$F[x,y,z]=\frac{\sqrt{(z''y'-z'y'')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$ $z=z(t)$
$F[y]=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(y'')^{2/3}}\right)''$	Декартовы координаты	$y=y(t)$ $x=t$	Аффинная кривизна
$F[x,y]= \frac{x''y'''-x'''y''}{(x'y''-x''y')^{5/3}}-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{(x'y''-x''y')^{2/3}}\right]''$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[x,y,z]=\frac{z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^2+y'^2+z'^2)(x''^2+y''^2+z''^2)}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$ $z=z(t)$	Кручение кривой
$X[x,y]=\frac{y'}{yx'-xy'}$ $Y[x,y]=\frac{x'}{xy'-yx'}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Дуальная кривая (координаты касательной)
$X[x,y]=x+\frac{ay'}{\sqrt {x'^2+y'^2}}$ $Y[x,y]=y-\frac{ax'}{\sqrt {x'^2+y'^2}}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Параллельная кривая
$X[y]=t-\frac{1+y'^2}{y''}$ $Y[y]=y+\frac{1+y'^2}{y''}$	Декартовы координаты	$y=y(x)$ $x=t$	Эволюта
$X[x,y]=x+y'\frac{x'^2+y'^2}{x''y'-y''x'}$ $Y[x,y]=y+x'\frac{x'^2+y'^2}{y''x'-x''y'}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$
$F[r]=t r'\circ r^{[-1]}$	Натуральные координаты	$r=r(s)$ $s=t$
$X[x,y]=x-\frac{x'\int\limits_a^t\limits\!\sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$ $Y[x,y]=y-\frac{y'\int\limits_a^t\limits\! \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Эвольвента
$X[x,y]=\frac{(xy'-yx')y'}{x'^2 + y'^2}$ $Y[x,y]=\frac{(yx'-xy')x'}{x'^2 + y'^2}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Подера относительно начала координат
$X[x,y]=\frac{(x'^2-y'^2)y'+2xyx'}{xy'-yx'}$ $Y[x,y]=\frac{(x'^2-y'^2)x'+2xyy'}{xy'-yx'}$	Параметрическое, декартовы координаты	$x=x(t)$ $y=y(t)$	Антиподера относительно начала координат
$X[y] = \int\limits_a^t\limits\!\cos \left(\int\limits_a^t\limits\!\frac{1}{y} \,dt\right) dt$ $Y[y] = \int\limits_a^t\limits\!\sin \left(\int\limits_a^t\limits\!\frac{1}{y} \,dt\right) dt$	Натуральные координаты	$y=r(s)$ $s=t$	Преобразование из натуральных координат в декартовы
Метрические функционалы
$F[y]=||y||=\sqrt{\int\limits_E\limits\! y^2 \, dt}$			Норма
$F[x,y]=\int\limits_E\limits\! xy \, dt$			Скалярное произведение
$F[x,y]=\arccos \left[\frac{\int\limits_E\limits\! xy \, dt}{\sqrt{\int\limits_E\limits\! x^2 \, dt}\sqrt{\int\limits_E\limits\! y^2 \, dt}}\right]$			Мера Фубини-Штуди (внутренний угол)
Функционалы распределения
$F[x,y] = x * y = \int\limits_E\limits\! x(s) y(t - s)\, ds$			Свёртка
$F[y] = \int\limits_E\limits\! y \ln y \, dy$			Дифференциальная энтропия
$F[y] = \int\limits_E\limits\!yt\,dt$			Математическое ожидание
$F[y] = \int\limits_E\limits\!\left(t-\int\limits_E\limits\!yt\,dt\right)^2y\,dt$			Дисперсия

См. также

• Оператор набла в различных системах координат
• Дифференциальный оператор
• Интегральные преобразования
• Интегральный оператор Фредгольма