Определитель Грама

Определителем Грама (англ.) (грамианом) системы векторов $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

$\begin{vmatrix} \langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatrix},$

где $\langle e_i,\;e_j\rangle$ — скалярное произведение векторов $\mathbf{e}_i$ и $\mathbf{e}_j$.

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве $V$ система векторов $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ порождает подпространство $U$. Зная, чему равны скалярные произведения вектора $\mathbf{x}$ из $U$ с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора $x$ по векторам $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$.

Исходя из разложения

$\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\ldots+x_n\mathbf{e}_n,$

получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

$\begin{cases} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n= \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle; \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n=\langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle; \\ \quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad\ldots\quad \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle x_1+\langle\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle x_2+\ldots+\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle x_n=\langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle. \\ \end{cases}$

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ линейно независимы. Поэтому обращение в нуль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве $V$ система векторов $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ порождает подпространство $U$. Зная скалярные произведения вектора $\mathbf{x}$ из $V$ с каждым из этих векторов, найти расстояние от $\mathbf{x}$ до $U$.

Минимум расстояний $|\mathbf{x}-\mathbf{u}|$ по всем векторам $\mathbf{u}$ из $U$ достигается на ортогональной проекции вектора $\mathbf{x}$ на $U$. При этом $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n}$, где вектор $\mathbf{n}$ перпендикулярен всем векторам из $U$, и расстояние от $\mathbf{x}$ до $U$ равно модулю вектора $\mathbf{n}$. Для вектора $\mathbf{u}$ решается задача о разложении (см. выше) по векторам $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$, и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

$\mathbf{u}=-\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} \end{vmatrix},$

где $\Gamma$ — определитель Грама системы. Вектор $\mathbf{n}$ равен:

$\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}=\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{x} \end{vmatrix}$

и квадрат его модуля равен

$|\mathbf{n}|^2=\langle\mathbf{n},\;\mathbf{x}\rangle=\frac{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x})}{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\;\mathbf{e}_n)}.$

Из этой формулы индукцией по $n$ получается следующее утверждение:

• Определитель Грама системы $n$ векторов равен квадрату $n$-мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.

См. также

• Процесс Грама ― Шмидта