Эквиаффинное преобразование

Аффи́нное преобразование — отображение $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$, которое можно записать в виде

$f(x) = M \cdot x + v,$

где M — обратимая матрица и $v\in \mathbb{R}^{n}$.

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат v;
2. Каждой точке x пространства поставить в соответствие точку f (x), имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и x в «старой».

Свойства

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Если размерность пространства ${n}\ge 2$, то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
• Частным случаем аффинных преобразований являются движения и преобразования подобия.

Типы аффинных преобразований

• Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь.
• Центроафинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Вариации и обобщения

В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел $\mathbb{R}$.

Ссылки

• Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление