Жёсткая система

Жесткая система обыкновенных дифференциальных уравнений — это система вида $\frac{d\vec{x}}{dt}=A(\vec{x},t)\vec{x}$,^{[источник не указан 1284 дня]} где матрица $A(x,t)$ имеет большие собственные значения. Сложность в решении жестких систем состоит в необходимости использования очень маленького шага по времени. Пусть, например, $A=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$, $\lambda_i<0$, а для решения используется метод Эйлера: $\vec{x}_{n+1}=\vec{x}_n+\tau A\vec{x}_n$. Тогда $x^i_{n+1}=x^i_{n}(1-\tau\lambda_i)$, а значит при $\tau>\frac{2}{\max_i\lambda_i}$ эта схема станет неустойчивой (некоторые координаты начнут возрастать, тогда как в исходном дифференциальном уравнении они убывают). Из-за этого при большом значении $\max_i(\lambda_i)$ приходится выбирать очень маленький шаг по времени, что приводит к существенному увеличению времени счета. Чтобы решить эту проблему целесообразно применять методы с переменными шагами по времени, что приводит к существенному уменьшению времени счета.

Ссылки

• http://www.keldysh.ru/comma/html/ode/stiff.html
• http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ode/theme15/theory.asp