Эвклидово кольцо


Эвклидово кольцо

Евклидово кольцо (эвклидово кольцо) — в абстрактной алгебре — кольцо, в котором «работает» алгоритм Евклида.

Содержание

Определение

Евклидово кольцо — это область целостности R, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) d: R \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\} , причём d(a)=-\infty \Leftrightarrow a=0, и возможно деление с остатком, по норме меньшим делителя, то есть для любых a,b\in R,\, b\ne 0 имеется представление a = bq + r, для которого d(r) < d(b).

Замечание

Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение: d(a)\le d(ab) для любых a и ненулевых b из кольца R. Если на R задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:

d'(a) = \min\{d(ax): \, x\in R, \, x\ne 0\}

Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком уже не годится — его тоже надо поправлять. Пусть x\in R таков, что d'(b) = d(bx). Разделим с остатком ax на bx: ax = bxq' + r'x, где r' = abq' и d(r'x) < d(bx) = d'(b). Так как из определения d'(r')\le d(r'x), мы получили представление a = bq' + r' с d'(r') < d'(b), что и требовалось.

Тем не менее бонусов от такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента a имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных идеалов, доказательство чего требует применения трансфинитной индукции). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.

Примеры

  • Кольцо целых чисел Z. Пример евклидовой функции — абсолютная величина |\cdot|.
  • Кольцо целых гауссовых чисел Z[i] (где i — мнимая единица, i2 = − 1) с нормой d(a + ib) = a2 + b2 — евклидово.
  • Произвольное поле K является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.
  • Кольцо многочленов в одной переменной K[x] над полем K. Пример евклидовой функции — степень deg.
  • Кольцо формальных степенных рядов K[[x]] над полем K является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём (для нулевого ряда норма равна минус бесконечности).
  • Обобщая предыдущий пример, всякое локальное кольцо является евклидовым, если в нём максимальный идеал является главным и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента — 0, необратимого ненулевого — равна максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент, а норма нуля — минус бесконечность.
  • Кольцо функций H(K), голоморфных на связном компакте K в C (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в H(K), если они совпадают в некоторой окрестности K), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на K.
  • Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций H(D), голоморфных в открытом круге D, является пересечением евклидовых колец функций H(K), голоморфных на замкнутых кругах K, содержащихся внутри D (см. предыдущий пример), однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
  • Кольцо частных S-1R евклидова кольца R по мультипликативной системе S тоже является евклидовым. Нормой дроби x из S-1R принимается
d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\}, где dR — евклидова норма в R, а dS — норма в S-1R.
Деление с остатком определяется так. Пусть есть две ненулевые дроби x = r / t и y из S-1R. По определению нормы в S-1R существует элементы u в R и s в S, такие что y = u / s и dS(y) = dR(u). Произведём деление с остатком в кольце R элементов rs и u:
rs = uq + r', так что dR(r') < dR(u). Тогда r / t = (u / s)(q / t) + r' / ts. Из построения следуют неравенства d_S(r'/ts)\le d_R(r')&amp;lt; d_R(u) = d_S(y).
  • Евклидовыми являются кольца конечных двоичных и конечных десятичных дробей, так как они являются кольцами частных кольца целых чисел Z.
  • Евклидовыми являются кольца рациональных функций над полем C с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются кольцами частных кольца многочленов C[x].

Алгоритм Евклида

В евклидовом кольце осуществим алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента a0 и a1, причём d(a_1)\le d(a_0) и a_1\ne 0. Деление с остатком даёт элемент a2 = a0a1q1 с d(a2) < d(a1). Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент a3 = a1a2q2, и т. д. Таким образом генерируется цепочка значений a_0, a_1, a_2, \dots с d(a_0)&amp;gt;d(a_1)&amp;gt;d(a_2)&amp;gt;\dots. Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое число из N\cup\{-\infty\} может строго превосходить лишь конечное количество других таких чисел. Это означает, что при некотором n остаток an+1 равен нулю, а an не равен, он и есть НОД элементов a0 и a1. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.

Свойства евклидовых колец

  • В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).
    • Пусть I — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь 0, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент f с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: Если g — произвольный элемент идеала I, представим его в виде g = fq + r с d(r)<d(f). Тогда r - тоже элемент идеала I и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у f. Следовательно, идеал I содержится в идеале (f). С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент f, содержит идеал (f). Значит, I = (f) - главный идеал.
  • Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность - общее свойство всех колец главных идеалов.
  • Каждое евклидово кольцо R целозамкнуто, то есть если дробь a/b,\,a,b\in R, является корнем многочлена f\in R[x] со старшим коэффициентом, равным 1, тогда a делится на b. Целозамкнутость - общее свойство всех факториальных колец.

Свойства модулей над евклидовым кольцом

Пусть R - евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые R-модули обладают следующими свойствами:

  • Всякий подмодуль N конечнопорождённого R-модуля M конечно порождён. (следствие нётеровости кольца R)
  • Ранг подмодуля N не превосходит ранга модуля M. (следствие главности идеалов в R)
  • Подмодуль свободного R-модуля свободен. (то же)
  • Гомоморфизм A: N\to M конечнопорождённых R-модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен) u_1, u_2, \dots, u_n модуля N, образующие (базис) v_1, v_2, \dots, v_m модуля M, номер k\le \min\{m,n\} и a_1,\dots,a_k - элементы кольца R, такие что ai делит ai + 1 и при i>k Aui = 0, а при остальных — Aui = aivi. При этом коэффициенты a_1,\dots,a_k определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца R. (Тут прямо задействована евклидовость кольца R.)

См. также

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Евклидово кольцо на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
  • Б. Л. ван дер Варден, «Алгебра», ISBN 5-8114-0552-9
  • J. von zur Gathen, J. Gerhard, «Modern Computer Algebra», ISBN 0-521-82646-2

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Эвклидово кольцо" в других словарях:

  • Евклидово кольцо — В абстрактной алгебре евклидово кольцо (эвклидово кольцо)  кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида. Содержание 1 Определение 1.1 Замечание 2 Примеры …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.