Эвдокс Книдский

Евдо́кс Кни́дский (др.-греч. Εύδοξος, лат. Eudoxus; ок.408 до н. э. — ок.355 до н. э.) — древнегреческий математик и астроном, родился в Книде, на юго-западе Малой Азии.

Евдокс Книдский

О его жизни известно немного. Евдокс учился медицине, потом математике (у пифагорейца Архита в Италии), затем присоединился к школе Платона в Афинах. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе. Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии.

Около 368 г. до н. э. Евдокс вместе с частью учеников вернулся в Афины. Умер в родном Книде, окружённый славой и почётом.

Кроме математики и астрономии, Евдокс занимался врачеванием, философией и музыкой; был известен также как оратор и законовед. Неоднократно упоминается у античных авторов; сочинения самого Евдокса до нас не дошли.

В честь Евдокса названы кратеры на Луне и на Марсе.

Астрономия

Евдокса можно считать создателем античной теоретической астрономии как самостоятельной науки. В Кизике им была построена обсерватория, в которой впервые в Элладе велись систематические наблюдения за небом. Школа Евдокса выпустила первый в Греции звёздный каталог.

Евдокс первым решил задачу Платона, предложившего астрономам построить модель, в которой видимые движения Солнца, Луны и планет получались бы как результат комбинации равномерных круговых движений. Модель Евдокса состояла из 27 взаимосвязанных сфер, вращающихся вокруг Земли (теория гомоцентрических сфер). Согласие этой модели с наблюдениями было для того времени неплохим; исключением было движение Марса, который неравномерно движется по орбите, далёкой от круговой, и её крайне трудно приблизить равномерным вращением сфер.

Теорию Евдокса с математической точки зрения усовершенствовал Каллипп, у которого число сфер возросло до 34. Дальнейшее усовершенствование теории было связано с Аристотелем, который разработал механизм передачи вращения от наружных сфер к внутренним; при этом число сфер возросло до 56. В дальнейшем Гиппарх и Птолемей отказались от теории гомоцентрических сфер в пользу теории эпициклов, которая позволяет более точно смоделировать неравномерность видимого движения небесных тел.

Евдокс пытался определить сравнительную величину небесных тел. Он знал, что Солнце больше Луны, но ошибочно полагал, что отношение их диаметров равно 9:1. Ему же приписывают первое определение длины земного меридиана. Считал Землю шарообразным телом, принимал угол между эклиптикой и небесным экватором равным 24°.

Евдоксу приписывают также изобретение горизонтальных солнечных часов.

Математика

Общая теория отношений

С современной точки зрения, теория отношений Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел.

Числовые системы древних греков ограничивались натуральными числами и их отношениями (дробями, рациональными числами). Однако ещё пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть диагональ единичного квадрата не может быть представлена рациональным числом. Стало понятно, что система чисел должна быть расширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделал Евдокс. Его теория дошла до нас в изложении Евклида (Начала, книга V).

В отличие от пифагорейцев, рассматривавших число как первичную сущность, Евдокс оперировал более широким понятием геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Это снимает проблему несоизмеримости.

Сначала Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). Однородность величин сформулирована в виде аксиомы, известной также как аксиома Архимеда: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга».

Далее Евдокс рассматривает отношения между величинами и определяет для них равенство: отношения a:b и c:d равны, если для любых натуральных m, n выполняется одно из трёх соотношений:

• либо ma < nb и mc < nd;
• либо ma = nb и mc = nd;
• либо ma > nb и mc > nd.

В современной формулировке, это означает, что между a:b и c:d нельзя вставить рациональное число.

Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: транзитивность, упорядоченность и т. д.

Такой подход фактически уравнял в правах рациональные и иррациональные числа. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса a, b; дробь m/n отнесём к классу A, если ma > nb, иначе — к классу B. Тогда классы A и B определяют дедекиндово сечение поля рациональных чисел Q. Осталось отождествить отношение по Евдоксу b:a с этим дедекиндовым числом.

Отметим, однако, что у Евдокса отсутствует аналог аксиомы непрерывности, и ниоткуда не следует, что всякое сечение Q определяет вещественное число.

Метод исчерпывания

Это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этого метода не опирается на актуальные бесконечно малые, но неявно включает понятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан (фр. Grégoire de Saint-Vincent, 1584-1667), в античные времена у метода не было специального названия.

Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи.

В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.

С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса).

Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий. В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем — математическим анализом.

Ссылки

• «Начала» Евклида
• Eudoxus of Cnidus (The MacTutor History of Mathematics archive)
• C. S. McConnell Models of Planetary Motion from Antiquity to the Renaissance

Литература

• Гейберг И. Л. Естествознание и математика в классической древности. М,-Л.: ОНТИ, 1936.
• Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии. М.: Изд-во МГУ, 1989.
• Житомирский С. В. Античная астрономия и орфизм. М.: Янус-К, 2001.
• Зайцев А. И. Роль Евдокса Книдского в становлении астрономической науки в Древней Греции. // Зайцев А. И. Избранные статьи. т. 2. СПб., 2003. С.406-410.
• Паннекук А. История астрономии, М.: Наука, 1966.
• История математики с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича), том I, М., Наука, 1972.
• Fowler D. H. Eudoxus: Parapegmata and Proportionality. In: Ancient and Medieval trends in the exact sciences. Stanford: CSLI Publications, 2000, p. 33-48.
• Goldstein B. R., Bowen A. C. A new view of early Greek astronomy, Isis, 74(273), 1983, p. 330—340.
• Knorr W. R. Plato and Eudoxus on the planetary motions. Journal for the History of Astronomy, 21, 1990, p. 313—329.
• Mendell H. Reflections on Eudoxus, Callippus and their Curves: Hippopedes and Callippopedes, Centaurus, 40, 1998, p. 177—275.
• Riddel R. C. Eudoxan mathematics and the Eudoxan spheres, Archive for History of Exact Sciences, 20, 1979, p. 1-19.
• Wright L. The astronomy of Eudoxus: geometry or physics? Stud. Hist. and Phil. Sci., 4, 1973, p. 165—172.
• Yavetz I. On the homocentric spheres of Eudoxus, Archive for History of Exact Sciences, 52, 1998, p. 221—278.
• Yavetz I. A new role for the hippopede of Eudoxus, Archive for History of Exact Sciences, 56, 2001, p. 69-93.