Шеннона теорема

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста) гласит, что, если аналоговый сигнал x(t) имеет ограниченный спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой более удвоенной максимальной частоты спектра F_max:

f_дискр > ${2 \cdot F_{max}},$

где F_max — верхняя частота в спектре, или (формулируя по-другому) по отсчётам, взятым с периодом чаще полупериода максимальной частоты спектра F_max:

T_дискр < $\frac{1}{2 \cdot F_{max}}.$

Пояснение

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временной характеристике точек разрыва. Именно это подразумевает понятие "спектр, ограниченный частотой F_max". Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и, обычно, имеют во временной характеристике разрывы. Соответственно, их спектр бесконечен. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы Котельникова вытекает 2 следствия:

• Любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой

f_дискр > ${2 \cdot F_{max}},$

где F_max — максимальная частота, которой мы ограничили спектр реального сигнала.

• Если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты прерывания, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде следующего ряда:

$\sum x(k\Delta t) \frac{\sin ( \pi F_{D}(t - k\Delta t))}{\pi F_{D}(t - k\Delta t)}.$

Под интегральной суммой написана формула отсчётов функции x(t). Мгновенные значения этой функции есть значения дискретизированного сигнала в каждый из моментов времени.

История открытия

Теорема была сформулирована В. А. Котельниковым в 1933 году в его работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи» и является одной из основополагающих теорем в теории и технике цифровой связи.

См. также

• Частота Найквиста
• Элементарный цифровой канал
• Экстраполятор нулевого порядка
• Экстраполятор первого порядка

Публикации

• H. Nyquist, «Certain topics in telegraph transmission theory», Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.
• Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.
• C. E. Shannon, «Communication in the presence of noise», Proc. Institute of Radio Engineers, vol. 37, no.1, pp. 10—21, Jan. 1949.