Шварциан

Шварциан

Инвариантом Шварца, производной Шварца или шварцианом (Sf)(z) (иногда используется обозначение \{f,\;z\}) аналитической функции f(z) называется дифференциальный оператор вида

(Sf)(z)=\frac{f'''(z)}{f'(z)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\right)^2.

Свойства

  1. Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт имеет большое принципиальное значение. Действительно, если обычная производная определяет меру близости дифференцируемой функции к линейной, то инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейной функции.
  2. Если f — аналитическая функция, а g — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение (Sf)(z) = (Sg(f))(z), то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца.

Уравнение для инварианта Шварца

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида \frac{d^2f}{dz^2}+ Q(z)f(z)=0. Тогда его два линейно независимых решения f1 и f2 удовлетворяют соотношению \left(S\frac{f_1}{f_2}\right)(z)=2Q(z).


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Шварциан" в других словарях:

  • ОДНОЛИСТНОСТИ УСЛОВИЯ — необходимые и достаточные условия, при к рых регулярная (или мероморфная) функция однолистна в нек рой области комплексной плоскости . Необходимым и достаточным условием однолистности в достаточно малой окрестности точки аявляется . Такая… …   Математическая энциклопедия

  • ШВАРЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР — производная Шварца, шварциан, аналитич. ции f(z)комплексного переменного z дифференциальное выражение появившееся при исследовании конформного отображения многоугольников на круг, в частности в работах Г. Шварца [1]. Важнейшее свойство Ш. д. п.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»