- Шварциан
-
Инвариантом Шварца, производной Шварца или шварцианом (Sf)(z) (иногда используется обозначение
) аналитической функции f(z) называется дифференциальный оператор вида
Свойства
- Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт имеет большое принципиальное значение. Действительно, если обычная производная определяет меру близости дифференцируемой функции к линейной, то инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейной функции.
- Если f — аналитическая функция, а g — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение (Sf)(z) = (Sg(f))(z), то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца.
Уравнение для инварианта Шварца
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида
. Тогда его два линейно независимых решения f1 и f2 удовлетворяют соотношению
.
Wikimedia Foundation. 2010.