Закон Дарси

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Закон Дарси (Анри Дарси, 1856) — закон фильтрации жидкостей и газов в пористой среде. Получен экспериментально. Выражает зависимость скорости фильтрации флюида от градиента напора:

$\vec u= K \vec I,$

где: $\vec u$ — скорость фильтрации, $K$ — коэффициент фильтрации, $\vec I$ — градиент напора^[1].

В теоретической гидродинамике

В фундаментальной механике сплошных сред при изучении течений жидкостей и газов в пористой среде широко применяется дифференциальная форма закона Дарси (здесь приведён для движения в поле тяжести):

$\vec u = -\frac{K}{\eta} \nabla \left( \rho g z + P \right),$

где $P$ — внешнее давление, $\rho$ — плотность флюида, $\eta$ — его динамическая вязкость, $g$ — ускорение свободного падения, $z$ — вертикальная координата.

Уравнение баланса сил

Можно переписать закон Дарси в виде уравнения баланса сил^[2]:

$-\nabla P - \frac{\eta}{K} \vec u + \rho \vec f = 0,$

где $\vec f$ — поле внешних сил, $\eta$ — динамическая вязкость жидкости или газа, $K = \eta k / \rho g$ — коэффициент проницаемости. Коэффициент проницаемости характеризует способность пористой среды к пропусканию флюида.

Полная система уравнений фильтрации несжимаемой жидкости также включает условие несжимаемости:

$- \nabla P - \frac{\eta}{K} \vec u + \rho \vec f = 0,$

$\operatorname{div} \vec u = 0.$

Необходимым граничным условием для данной модели на твёрдых поверхностях является только условие непроницаемости.

Потенциальная форма закона

При постоянном коэффициенте проницаемости поле скорости фильтрации имеет скалярный потенциал, что позволяет переписать систему уравнений фильтрации в форме уравнения Лапласа^[1]:

$\vec u = k \nabla h, \quad \Rightarrow \quad \exists \quad \Phi = k h,$

где $h$ — напор.

Уравнение Лапласа с граничным условием вытекает из условия несжимаемости:

$\Delta \Phi = 0,$

$\left. \frac{\partial \Phi}{\partial n}\right|_{S} = \left. \left( \vec n \cdot \nabla \Phi \right) \right|_{S}= 0,$

где $\vec n$ — вектор нормали к поверхности. Граничным условием на твёрдых поверхностях является условие равенства нулю нормальной компоненты градиента $\Phi$.

В принципе, во всех приведённых выше уравнениях поле массовых сил и градиента давления могут быть объединены, что сведётся к простой перенормировке давления.

Единицы измерения

Закон Дарси связан с несколькими системами измерений. Среда с проницаемостью 1 Дарси (Д) позволяет протекать 1 см³/с жидкости или газа с вязкостью 1 сп (мПа·с) под градиентом давления 1 атм/см, действующего на площадь 1 см².

В системе измерения СИ, 1 Дарси эквивалентен 9,869233·10⁻¹³м² или 0,9869233 мкм². Такое преобразование обычно аппроксимируется как 1 мкм². Следует заметить, что это число, обратное к 1,013250 — коэффициент преобразования из атмосфер в бары.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. — М.: Наука, 1977. — 664 с.
2. ↑ Басниев К. С., Кочина Н. И., Максимов М. В. Подземная гидромеханика: учебник для вузов. - М.: Недра, 1993. - 416 с.

Ссылки

• Society of Petroleum Engineers (SPE) metric standard.

См. также

• Дарси — единица измерения проницаемости.
• Пористость
• Закон Бернулли