Числа с плавающей точкой


Числа с плавающей точкой

Плавающая запятая — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто используемое представление утверждено в стандарте IEEE 754. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.

Содержание

«Плавающая запятая» и «плавающая точка»

Так как в некоторых, преимущественно англоязычных и англофицированных, странах (см. подробный список Decimal separator (англ.)) при записи чисел целая часть отделяется от дробной точкой, то в терминологии этих стран фигурирует название «плавающая точка» (floating point (англ.)). Так как в России целая часть числа от дробной традиционно отделяется запятой, то для обозначения того же понятия используется термин «плавающая запятая».

Происхождение названия

Название «плавающая запятая» происходит от того, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая — далее по тексту просто запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение запятой указывается отдельно во внутреннем представлении. Таким образом, представление числа в форме с плавающей запятой может рассматриваться как компьютерная реализация экспоненциальной записи чисел.

Преимущество использования представления чисел в формате с плавающей запятой над представлением в формате с фиксированной запятойцелыми числами) состоит в том, что можно использовать существенно больший диапазон значений при неизменной относительной точности. Например, в форме с фиксированной запятой число, занимающее 8 разрядов в целой части и 2 разряда после запятой, может быть представлено в виде 123456,78; 8765,43; 123,00 и так далее. В свою очередь, в формате с плавающей запятой (в тех же 8 разрядах) можно записать числа 1,2345678; 1234567,8; 0,000012345678; 12345678000000000 и так далее.

Скорость выполнения компьютером операций с числами, представленными в форме с плавающей запятой, измеряется в англ. FLOPS — число операций с плавающей запятой в секунду),

Структура числа

Число с плавающей запятой состоит из:

  • Мантиссы (выражающей значение числа без учёта порядка)
  • Знака мантиссы (указывающего на отрицательность или положительность числа)
  • Порядка (выражающего степень основания числа, на которое умножается мантисса)
  • Знака порядка

Нормальная форма

Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0; 1). Число с плавающей запятой, находящееся не в нормальной форме теряет точность по сравнению с нормальной формой. Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах - 0,0001 * 100, 0,001 * 10-1, 0,01 * 10-2, 0,1 * 10-3), поэтому распространена (особенно в информатике) также другая форма, в которой мантисса принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0.

Использование в вычислительных машинах

В вычислительных машинах показатель степени принято отделять от мантиссы буквой "E" (exponent). Например, число 1,528535047 × 10-25 в большинстве языков программирования высокого уровня записывается как 1.528535047E-25.

Краткий обзор

Существует несколько способов того, как строки из цифр могут представлять числа:

  • Наиболее распространённый путь представления значения числа из строки с цифрами — в виде целого числа — запятая (radix point) по-умолчанию находится в конце строки.
  • В общем математическом представлении строка из цифр может быть сколь угодно длинной, а положение запятой обозначается путём явной записи символа запятой (или, на Западе, точки) в нужном месте.
  • В системах с представлением чисел в формате с фиксированной запятой существует определённое условие относительно положения запятой. Например, в строке из 8 цифр условие может предписывать положение запятой в середине записи (между 4-й и 5-й цифрой). Таким образом, строка "00012345" обозначает число 1,2345 (нули слева всегда можно отбросить).
  • В экспоненциальной записи используют стандартный (нормальный?) вид представления чисел. Число считается записанным в стандартном виде, если оно записано в виде aqn, где a такое, что 1\le a<q, называется мантиссой, n — целое, называется показатель степени и q — целое, основание системы счисления (на письме это обычно 10). То есть в мантиссе запятая помещается сразу после первой значащей (не равной нулю) цифры, считая слева направо, а дальнейшая запись даёт информацию о действительном значении числа. Например, период обращения (на орбите) спутника планеты Юпитера Ио́, который равен 152853,5047 с, в стандартном виде можно записать как 1,528535047 × 105. Побочным эффектом ограничения на значения мантиссы является то, что в такой записи невозможно изобразить число 0.
  • Запись в форме с плавающей запятой похожа на запись чисел в стандартном виде, но мантисса и экспонента записываются раздельно. Мантисса записывается в формате с фиксированной запятой, подразумеваемой после первой цифры. Возвращаясь к примеру с Ио́, запись в форме с плавающей запятой будет 1528535047 с показателем 5. Это означает, что записанное число в 105 раз больше числа 1,528535047, то есть для получения подразумеваемого числа запятая сдвигается на 5 разрядов вправо. Однако, запись в форме с плавающей запятой используется в основном в электронном представлении чисел, при котором используется основание системы счисления 2, а не 10. Кроме того, в двоичной записи мантисса обычно денормализована, то есть запятая подразумевается до первой цифры, а не после, и целой части вообще не имеется ввиду - так появляется возможность и значение 0 сохранить естественным образом. Таким образом, десятичная 9 в двоичном представлении с плавающей запятой будет записана как мантисса +1001000...0 и показатель +0...0100. Отсюда, например, беды с двоичным представлением чисел типа одной десятой (0,1), для которой двоичное представление мантиссы оказывается периодической двоичной дробью - по аналогии с 1/3, которую нельзя конечным количеством цифр записать в десятичной системе счисления.

Запись числа в форме с плавающей запятой позволяет производить вычисления над широким диапазоном величин, сочетая фиксированное количество разрядов и точность. Например, в десятичной системе предоставления чисел с плавающей запятой (3 разряда) операцию умножения, которую мы бы записали как

0,12 × 0,12 = 0,0144

в нормальной форме представляется в виде

(1,20 × 10−1) × (1,20 × 10−1) = (1,44 × 10−2).

В формате с фиксированной запятой мы бы получили вынужденное округление

0,120 × 0,120 = 0,014.

Мы потеряли крайний правый разряд числа, так как данный формат не позволяет запятой «плавать» по записи числа.

Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 52 бита + 1 знаковый, показатель — 11 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от 4,94 × 10−324 до 1.79 × 10308 (от 2−52 × 2−1022 до ~1 × 21024). Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся значения бесконечность), получающихся в результате операций типа деления на ноль нуля, положительных и отрицательных чисел. Также сюда попадают денормализованные числа, у которых мантисса меньше единицы. В специализированных устройствах (например GPU) поддержка специальных чисел часто отсутствует. Существуют программные пакеты, в которых объём памяти выделенный под мантиссу и показатель задаётся программно, и ограничивается лишь объёмом доступной памяти ЭВМ.


Точность Одинарная Двойная Расширенная
Размер (байты) 4 8 10
Число десятичных знаков 7 15 19
Наименьшее значение (>0), denorm 1,4×10-45 5,0×10-324 1,9×10-4951
Наименьшее значение (>0), normal 1,2×10-38 2,3×10-308 3,4×10-4932
Наибольшее значение 3,4×10+38 1,7×10+308 1,1×10+4932
Поля S-E-F S-E-F S-E-I-F
Размеры полей 1-8-23 1-11-52 1-15-1-63
  • S — знак, E — показатель степени, I — целая часть, F — дробная часть
  • Так же, как и для целых, знаковый бит — старший.

Машинный эпсилон

В отличие от фиксированной запятой, сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей запятой, неравномерна: она более густая для чисел малого порядка и более редкая — для больших чисел. Но относительная погрешность записи чисел одинакова и для малых чисел, и для больших. Поэтому можно ввести понятие машинного эпсилона.

Машинным эпсилоном называется наименьшее положительное число ε такое, что 1 \oplus \varepsilon \neq 1 (знаком \oplus обозначено машинное сложение). Грубо говоря, числа a и b, соотносящиеся так, что 1 < \frac a b < 1+\varepsilon, машина не различает.

См. также

Литература

  • Н. А. Криницкий, Г. А. Миронов, Г. Д. Фролов. Программирование. — Государственное издательство физико-математической литературы. — Москва, 1963
  • Генри С. Уоррен, мл. Глава 15. Числа с плавающей точкой // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker's Delight. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 288. — ISBN 0-201-91465-4
  • http://digital.sibsutis.ru/Proc/cod.htm коды с фиксированной запятой

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Числа с плавающей точкой" в других словарях:

  • Числа с фиксированной точкой — Число с фиксированной запятой формат представления вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа. При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой , где z цена младшего разряда. Простейший пример арифметики с… …   Википедия

  • Числа с плавающей запятой — Плавающая запятая  форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее… …   Википедия

  • Блок операций с плавающей точкой — Математический сопроцессор 80x287 в колодке на базовой плате персонального компьютера. Сопроцессор Motorola 68881 Математический сопроцессор сопроцессор для расширения командного множества центрального процессора и обеспечивающий его… …   Википедия

  • Число с плавающей запятой — Число с плавающей запятой  форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную.… …   Википедия

  • регистр с плавающей запятой — Регистр, доступный программам и используемый для хранения числа с плавающей точкой при выполнении арифметических операций [Источник] Тематики информационные технологии в целом EN floating point registerfloating registerfloating point register …   Справочник технического переводчика

  • Денормализованные числа — (англ. denormalized numbers, subnormal numbers)  вид чисел с плавающей точкой, определенный в стандарте IEEE 754. При записи в форматах float, double, long double их экспонента будет записана как 0. Для получения их значения не… …   Википедия

  • MIPS (архитектура) — У этого термина существуют и другие значения, см. MIPS. MIPS (англ. Microprocessor without Interlocked Pipeline Stages)  микропроцессор, разработанный компанией MIPS Computer Systems (в настоящее время MIPS Technologies) в соответствии… …   Википедия

  • math.h — Стандартная библиотека языка программирования С assert.h complex.h ctype.h errno.h fenv.h float.h inttypes.h iso646.h limits.h locale.h math.h setjmp.h signal.h stdarg.h stdbool.h stddef.h …   Википедия

  • Math.h — Стандартная библиотека языка программирования С assert.h complex.h ctype.h errno.h fenv.h float.h inttypes.h iso646.h limits.h locale.h math.h setjmp.h signal.h stdarg.h stdbool.h stddef.h stdint.h stdio.h stdlib.h …   Википедия

  • Запятая плавающая — Плавающая запятая форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.