Биссектриса


Биссектриса

Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла[1]. Биссектриса угла - геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

В треугольнике под биссектрисой угла может также пониматься отрезок биссектрисы этого угла до её пересечения с противолежащей стороной треугольника.

Содержание

Свойства

Построение биссектрисы
  • Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.
  • Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
  • Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
  • Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса).
  • Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,[2] причём даже при наличии трисектора.[3]

Длина биссектрис в треугольнике

Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}
l_c = \sqrt{ab-a_lb_l}
l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}}

где:

  • l_c — длина биссектрисы, проведённой к стороне c,
  • a, b, c — стороны треугольника против вершин A, B, C соответственно,
  • p — полупериметр треугольника,
  • a_l, b_l — длины отрезков, на которые биссектриса l_c делит сторону c,
  • \alpha, \beta, \gamma — внутренние углы треугольника при вершинах A, B, C соответственно,
  • h_c — высота треугольника, опущенная на сторону c.

Мнемоническое правило

Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам[4].

Облегчает запоминание формулировки. Чаще всего употребляется детьми.

Примечания

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Синонимы:

Смотреть что такое "Биссектриса" в других словарях:

  • биссектриса — ы, ж. bissectrice f. матем. Прямая линия, проходящая через вершину угла и делящая ее пополам. БАС 2. Чертить биссектрису. Васюкова 1999. Биссектриса это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. 1994. Белянин. Лекс. Брокг.… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • биссектриса — математичка, линия, прямая Словарь русских синонимов. биссектриса сущ., кол во синонимов: 3 • линия (182) • …   Словарь синонимов

  • БИССЕКТРИСА — (от лат. bis дважды и seco рассекаю) угла полупрямая (луч), исходящая из вершины угла и делящая его пополам …   Большой Энциклопедический словарь

  • БИССЕКТРИСА — [исе], биссектрисы, жен. (от лат. bissectrix секущая поперек) (мат.). 1. В угле прямая линия, делящая угол пополам. 2. В треугольнике прямая линия, проведенная от какого нибудь угла к противоположной стороне и делящая эту сторону на части, прямо… …   Толковый словарь Ушакова

  • БИССЕКТРИСА — БИССЕКТРИСА, ы, жен. В математике: луч (в 3 знач.), исходящий из вершины угла и делящий его пополам. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • биссектриса — БИССЕКТРИСА, ы, ж. Учительница математики в школе. Из шк …   Словарь русского арго

  • биссектриса — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN mean line …   Справочник технического переводчика

  • БИССЕКТРИСА — луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам; любая точка Б. равно удалена от сторон угла. Три Б. углов треугольника пересекаются в одной очке центре вписанной в треугольник окружности …   Большая политехническая энциклопедия

  • биссектриса — (фр. bissectrice лат. bis sectrix (bissectricis) надвое рассекающая) геом. луч, проходящий через вершину угла в делящий его пополам. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009. биссектриса [исе], биссектрисы, ж. [от латин. bissectrix –… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • биссектриса — ы; ж. [франц. bissectrice от лат. bis дважды и secare рассекать] Матем. Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. * * * биссектриса (от лат. bis  дважды и seco  рассекаю) угла, полупрямая (луч), исходящая из вершины угла и делящая его …   Энциклопедический словарь

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.