Центростремительное ускорение

Эту страницу предлагается объединить с Центростремительная сила. Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К объединению/27 июня 2012. Обсуждение длится одну неделю (или дольше, если оно идёт медленно). Дата начала обсуждения — 2012-06-27. Если обсуждение не требуется (очевидный случай), используйте другие шаблоны. Не удаляйте шаблон до подведения итога обсуждения.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 28 февраля 2012.

Центростремительное ускорение — компонента ускорения точки, характеризующая изменение направления вектора скорости для траектории с кривизной. (Вторая компонента, тангенциальное ускорение, характеризует изменением модуля скорости.) Направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. По величине равно квадрату скорости, поделенному на радиус кривизны. Термин «центростремительное ускорение» в целом эквивалентен термину «нормальное ускорение»; различия лишь стилистические (иногда исторические).

Наиболее простым примером центростремительного ускорения является вектор ускорения при равномерном движении по окружности (направленный к центру окружности).

В классической механике центростремительное ускорение вызывается компонентами сил, направленными ортогонально вектору скорости (и следовательно — перпендикулярно касательной к траектории в данной точке). Например, кривизна орбит космических объектов характеризуется центростремительным ускорением, вызванным гравитацией.

Связанное понятие для неинерциальных систем отсчёта — центробежная сила.

Элементарная формула

$a_n = \frac{v^2}{R}\$

или

$a_n = \omega^2 R\ ,$

где $a_n\$ — нормальное (центростремительное) ускорение, $v\$ — (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, $\omega\$ — (мгновенная) угловая скорость этого движения относительно центра кривизны траектории, $R\$ — радиус кривизны траектории в данной точке. (Cвязь между первой формулой и второй очевидна, учитывая $v = \omega R\$).

Выражения выше включают абсолютные величины. Их легко записать в векторном виде, домножив на $\mathbf e_R$ — единичный вектор от центра кривизны траектории к данной ее точки:

$\mathbf a_n = \frac{v^2}{R} \mathbf e_R = \frac{v^2}{R^2} \mathbf R$

$\mathbf a_n = \omega^2 \mathbf R.$

Эти формулы равно применимы к случаю движения с постоянной (по абсолютной величине) скоростью, так и к произвольному случаю. Однако во втором надо иметь в виду, что центростремительное ускорение не есть полный вектор ускорения, а лишь его составляющая, перпендикулярная траектории (или, что то же, перпендикулярная вектору мгновенной скорости); в полный же вектор ускорения тогда входит еще и тангенциальная составляющая (тангенциальное ускорение) $a_\tau = dv/dt\$, по направлению совпадающее с касательной к траектории (или, что то же, с мгновенной скоростью)^[1].

Мотивировка и вывод

То, что разложение вектора ускорения на компоненты — одну вдоль касательного к траектории вектора (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ему (нормальное ускорение) — может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. Это усугубляется тем, что при движении с постоянной по величине скоростью тангенциальная составляющая будет равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, как можно увидеть ниже, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Не говоря уже о важном частном случае движения по окружности (который, к тому же, практически без изменения может быть обобщен и на общий случай).

Геометрический вывод для неравномерного движения по окружности

Геометрический вывод для произвольного движения (по произвольной траектории)

Формальный вывод

Разложение ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты (вторая из которых и есть центростремительное или нормальное ускорение) можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленнный в виде $\mathbf v = v\, \mathbf e_\tau$ через единичный вектор касательной $\mathbf e_\tau$:

$\mathbf a = \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{d (v \mathbf e_\tau)}{dt} = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau + v \frac{d \mathbf e_\tau}{dt} = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau + v \frac{d \mathbf e_\tau}{dl} \frac{dl}{dt} = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \mathbf e_\tau+ \frac{v^2}{R}\mathbf e_n\ ,$

где первое слагаемое — тангенциальное ускорение, а второе — центростремительное ускорение.

Здесь использовано обозначение $e_n\$ для единичного вектора нормали к траектории и $l\$ — для текущей длины траектории ($l = l(t)\$); в последнем переходе также использовано очевидное $dl/dt = v\$.

Далее можно просто формально назвать член

$\frac{v^2}{R}\mathbf e_n\$

— нормальным (центростремительным) ускорением. При этом его смысл, смысл входящих в него объектов, а также доказательство того факта, что он действительно ортогонален касательному вектору (то есть что $\mathbf e_n\$ — действительно вектор нормали) — будет следовать из геометрических соображений (впрочем, то, что производная любого вектора постоянной длины по времени перпендикулярна самому этому вектору, — достаточно простой факт; в данном случае мы применяем это утверждение для $\frac{d \mathbf e_\tau}{dt}$).

Замечания

Легко заметить, что абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

Приведенные здесь способы или их варианты могут быть использованы для введения таких понятий, как кривизна кривой и радиус кривизны кривой^[2] (поскольку в случае, когда кривая — окружность, R совпадает с радиусом такой окружности; не слишком трудно также показать, что оружность в плоскости $\mathbf e_\tau, e_n\$ с центром в направлении $e_n\$ от данной точки на расстоянии R от нее — будет совпадать с данной кривой — траекторией — с точностью до второго порядка малости по расстоянию до данной точки).

История

Первым правильные формулы для центростремительного ускорения (или центробежной силы) получил, по-видимому, Гюйгенс. Практически с этого времени рассмотрение центростремительного ускорения входит в обычную технику решения механических задач итд.

Несколько позже эти формулы сыграли существенную роль в открытии закона всемирного тяготения (формула центростремительного ускорения использовалась для получения закона зависимости гравитационной силы от расстояния до источника гравитации, исходя из выведенного из наблюдений третьего закона Кеплера).

К XIX веку рассмотрение центростремительного ускорения становится уже совершенно рутинным как для чистой науки, так и для инженерных приложений.

См. также

• Кривизна кривой
• Центробежная сила

Примечания

1. ↑ Как видно из формулы, при движении с постоянной путевой скоростью — тангенциальное ускорение попросту равно нулю.
2. ↑ Рассматривая кривую в качестве траектории движения точки. Для введения этих понятий в принципе достаточно рассмотреть движение с постоянной единичной скоростью, хотя это упрощает дело не так уж существенно.