Центральные моменты случайной величины

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Определения

Если дана случайная величина $\displaystyle X,$ определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

• $\displaystyle k$-м нача́льным моментом случайной величины $\displaystyle X,$ где $k \in \mathbb{N},$ называется величина

$\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],$

если математическое ожидание $\mathbb{E}[*]$ в правой части этого равенства определено;

• $\displaystyle k$-м центра́льным моментом случайной величины $\displaystyle X$ называется величина

$\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],$

• $\displaystyle k$-м факториальным моментом случайной величины $\displaystyle X$ называется величина

$\mu_k = \mathbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],$

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Замечания

• Если определены моменты $\displaystyle k$-го порядка, то определены и все моменты низших порядков $1 \leqslant k' < k.$
• В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:

$\displaystyle \mu_1 = 0,$

$\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,$

$\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,$

$\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4,$ и т. д.

Геометрический смысл некоторых моментов

• $\displaystyle \nu_1$ равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
• $\displaystyle \mu_2$ равняется дисперсии распределения $\displaystyle (\mu_2=\sigma^2)$ и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
• $\displaystyle \mu_3$, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение

$\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

называется коэффициентом асимметрии.

• $\displaystyle \mu_4$ контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина

$\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3$

называется коэффициентом эксцесса распределения $\displaystyle X.$

Вычисление моментов

• Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью $\displaystyle f(x),$ имеем:

$\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,$

если $\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty} ,$

а для дискретного распределения с функцией вероятности $\displaystyle p(x):$

$\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),$

если $\nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.$

• Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию $\displaystyle \phi(t)$:

$\nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}.$

• Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов $\displaystyle M(t),$ то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

$\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0}.$

Обобщения

Можно также рассматривать нецелые значения k. Момент, рассматриваемый как функция от аргумента k, называется преобразованием Меллина.

Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). Итд.