Формула Грина это:

Формула Грина

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по области D, ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.

Содержание

Формулировка

Пусть C — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а D — область, ограниченная кривой C. Если функции P = P(x,y), Q = Q(x,y) определены в области D и имеют непрерывные частные производные \frac{\partial P}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x}, то

\int\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy

На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая C замкнута.

Доказательство

D — область, правильная в направлении OY, ограниченная замкнутой кривой C

Пусть область D — криволинейная трапеция (область, правильная в направлении OY):

D = \{ (x,y)|a \le x \le b, y_1(x) \le y \le y_2(x) \}

Для кривой C, ограничивающей область D зададим направление обхода по часовой стрелке.

Тогда:

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_1(x,y)}^{y_2(x,y)} \frac{\partial P}{\partial y} \,dy = \int\limits_{a}^{b} (P(x,y_2(x)) - P(x,y_1(x))) \,dx =
= \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx - \int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (1)

Заметим, что оба полученных интеграла можно заменить криволинейными интегралами:

\int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{-C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (2)
\int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx = \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx \quad (3)

Интеграл по C1 берётся со знаком "минус", так как согласно ориентации контура C направление обхода данной части — от b до a.

Криволинейные интегралы по C2 и C4 будут равны нулю, так как x = \operatorname{const}:

\int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx = 0 \quad (4)
\int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx = 0 \quad (5)

Заменим в (1) интегралы согласно (2) и (3), а также прибавим (4) и (5), равные нулю и поэтому не влияющие на значение выражения:

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = \int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx

Так как обход по часовой стрелке при правой ориентации плоскости является отрицательным направлением, то сумма интегралов в правой части является криволинейным интегралом по замкнутой кривой C в отрицательном направлении:

\iint\limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \,dx\,dy = -\int\limits_{C} P(x,y) \,dx \quad (6)

Аналогично доказывается формула:

\iint\limits_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} \,dx\,dy = \int\limits_{C} Q(x,y) \,dy \quad (7)

если в качестве области D взять область, правильную в направлении OX.

Вычитая (6) из (7), получим:

\int\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy

Формулы Грина

Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких граничных поверхностей, то общее решение для скалярного потенциала

\Phi(x)=\int \frac{\varrho(x^')}{|x-x^'|}\, d^3x,

было бы самой удобной и непосредственной формой решения таких задач и не нужны были бы ни уравнение Лапласа, ни уравнение Пуассона. Однако в действительности в целом ряде, если не в большинстве, задач электростатики мы имеем дело с конечными областями пространства (содержащими или не содержащими заряд), на граничных поверхностях которых заданы определенные граничные («краевые») условия. Эти граничные условия могут быть заменены некоторым соответственно подобранным распределением зарядов вне рассматриваемой области (в частности, в бесконечности), однако приведенное выше соотношение в этом случае уже непригодно для расчета потенциала, за исключением некоторых частных случаев (например, в методе изображений).

Для рассмотрения задач с граничными условиями необходимо расширить используемый нами математический аппарат, а именно вывести так называемые формулы, или теоремы Грина (1824 г.). Они получаются непосредственно из теоремы о дивергенции

\int\limits_V \operatorname{div}~A\,d^3x=\oint\limits_S A \cdot n\,da ,

которая справедлива для любого векторного поля А, определенного в объёме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть A=\varphi \operatorname{grad} ~\psi, где \varphi и \psi
\,\! — произвольные дважды непрерывнодифференцируемые скалярные функции. Тогда

\operatorname{div}~(\varphi \operatorname{grad} ~\psi)=\varphi \nabla^2 \psi + \operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi (1)

и

\varphi  \operatorname{grad} ~\psi \cdot n=\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} (2),

где \frac{\partial}{\partial n} нормальная производная на поверхности S (по направлению внешней нормали по отношению к объёму V). Подставляя (1) и (2) в теорему о дивергенции, мы придем к первой формуле Грина

\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi + \operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi)\,d^3x = \oint\limits_S \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} \,da (3).

Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами \varphi и \psi\,\!, и вычтем её из (3). Тогда члены с произведением \operatorname{grad} ~\varphi \cdot \operatorname{grad} ~\psi сократятся и мы получим вторую формулу Грина, называемую иначе теоремой Грина:

\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi)\,d^3x = \oint\limits_S [\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} -  \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n}] \,da .

В физике и математике теорема Грина дает соотношение между линейным интегралом простой ограниченной кривой С и двойным интегралом по плоской поверхности D ограниченной кривой С. И в общем виде записывается следующим образом

\int\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.

В физике Теорема Грина в основном используется для решения двумерных потоковых интегралов, исходя из того, что сумма исходящих потоков в любой точки области равна результирующему потоку, суммируемому по всей ограничивающей поверхности.

Третье уравнение Грина получается из второго уравнения путем замены \psi = \frac{1}{x-y} и замечания о том, что \nabla^2 \psi = - 4 \pi \delta \left( \mathbf{x} - y \right) в R ³. Если \phi,\,\! дважды дифференцируема на U.

 \oint\limits_{\partial U} \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} {\partial \phi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \phi(\mathbf{y}) {\partial \over \partial n_\mathbf{y}} {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\right]\, dS_\mathbf{y} - \int\limits_U \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} \nabla^2 \phi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y} = k

k = 4\pi\phi(x),\,\! если x ∈ внутренней части U, 2\pi\phi(x),\,\! если x ∈ ∂U и плоскость касания только в x.

См. также

Литература

  • Д.Ж.Джексон Классическая электродинамика (1965г.)

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Формула Грина" в других словарях:

  • Формула Стокса — Теорема Стокса одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса. Содержание 1 Общая формулировка 2… …   Википедия

  • ГРИНА ФОРМУЛА — связывает двойной интеграл по некоторой плоской области с криволинейным интегралом по границе этой области. Предложена Дж. Грином (1828) …   Большой Энциклопедический словарь

  • ГРИНА ФОРМУЛЫ — формулы интегрального исчисления функций многих переменных, связывающие значения га кратного интеграла по области D n мерного евклидова пространства и кратного интеграла по кусочно гладкой границе этой области. Г. ф. получаются интегрированием по …   Математическая энциклопедия

  • ГРИНА ФУНКЦИЯ — функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям.… …   Математическая энциклопедия

  • Грина формула — связывает двойной интеграл по некоторой плоской области с криволинейным интегралом по границе этой области. Предложена Дж. Грином (1828). * * * ГРИНА ФОРМУЛА ГРИНА ФОРМУЛА, связывает двойной интеграл по некоторой плоской области с криволинейным… …   Энциклопедический словарь

  • Формула Остроградского — Формула Остроградского  формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: то есть интеграл от дивергенции векторного поля ,… …   Википедия

  • Формула Гаусса—Остроградского — Формула Остроградского  математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью: то есть интеграл от дивергенции векторного… …   Википедия

  • Грина формулы —         формулы интегрального исчисления, связывающие между собой интегралы различных типов. Простейшая из них связывает двойной интеграл по области G с криволинейным интегралом по границе С области G и имеет вид:                  Эта формула… …   Большая советская энциклопедия

  • ГРИНА ФОРМУЛА — связывает двойной интеграл по нек рой плоской области с криволинейным интегралом по границе этой области. Предложена Дж. Грином (1828) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • СТОКСА ФОРМУЛА — 1) формула, выражающая связь между потоком векторного поля через двумерное ориентированное многообразие и циркуляцию этого поля по соответствующим образом ориентированному краю этого многообразия. Пусть S ориентированная кусочно гладкая… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Формула Грина» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»