Фейнмана диаграммы

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение ... Математическая формулировка ... Основа Классическая механика · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Волновая функция · Суперпозиция · Запутанность · Измерение · Неопределённость · Запрет Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннелирование Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга ·Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Картина Шрёдингера · Картина Гейзенберга · Картина взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака Интерпретации Копенгагенская интерпретация · Теория скрытых параметров · Многомировая Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг· Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

Диаграммы Фе́йнмана — наглядный и эффективный способ описания взаимодействия в квантовой теории поля (КТП). Метод предложен Ричардом Фейнманом в 1949 для построения амплитуд рассеяния и взаимного превращения элементарных частиц в рамках теории возмущений, когда из полного (эффективного) лагранжиана $\mathcal{L}$ системы полей выделяется невозмущённая часть (свободный лагранжиан) $\mathcal{L}_0$, квадратичная по полям, а оставшаяся часть (лагранжиан взаимодействия) $\mathcal{L}_1$ трактуется как возмущение. Наиболее наглядную интерпретацию диаграммы Фейнмана приобретают в методе интегралов по траекториям.

Составными элементами диаграммы Фейнмана являются вершины, внутренние и внешние линии. Каждая из линий подсоединяется к каким-нибудь вершинам: внутренняя к двум, а внешняя к одной. Набор вершин определяется структурой $\mathcal{L}_1$, а набор внешних и внутренних линий — структурой $\mathcal{L}_0$. Каждому моному по полям в $\mathcal{L}_1$ соответствует определённый тип вершин, а каждому виду поля в $\mathcal{L}_0$ определённый тип линий. Если поле нейтральное (соответствующая частица совпадает со своей античастицей), то линия считается ненаправленной, в противном случае линия направленная и на диаграмме снабжается стрелкой.

Существуют так называемые правила Фейнмана, которые сопоставляют каждому элементу диаграммы Фейнмана определенные математические объекты (величины и операции), так что по диаграмме Фейнмана можно однозначно построить аналитическое выражение, дающее вклад в амплитуду рассеяния квантованных полей. Вместе с тем диаграммы Фейнмана позволяют такому вкладу дать наглядную классическую интерпретацию в виде ряда последовательных локальных превращений частиц. Каждому отдельному превращению соответствует вершина, внутренним линиям — распространение промежуточной частицы от одного акта превращения до другого (пропагатор частицы), внешним линиям — волновые функции начальных и конечных частиц, участвующих в процессе. В качестве примера рассмотрим диаграммы Фейнмана в квантовой электродинамике (КЭД), которая описывает взаимодействие электронов, позитронов и фотонов между собой. В КЭД имеются всего один тип вершин (рис. 1) и два типа линий (рис. 2). Ненаправленная волнистая линия относится к фотону, а направленная прямая — к электрону и позитрону.

В последнем случае распространению основной частицы (электрона) соответствует движение вдоль линии по направлению стрелки, а распространению античастицы (позитрона) — движение против стрелки.

Каждая диаграмма Фейнмана имеет несколько интерпретаций в зависимости от направления движения вдоль линий этой диаграммы. Так, для диаграммы Фейнмана, изображённой на рис. 3, допустимы следующие варианты.

1. Движение по линиям слева направо — рассеяние фотона на электроне. В вершине 1 начальный электрон поглощает начальный фотон, при этом образуется промежуточный электрон, который распространяется от вершины 1 к вершине 2. Здесь он излучает конечный фотон и превращается в конечный электрон. Результатом процесса является перераспределение 4-импульса (энергии и импульса) между электроном и фотоном.
2. Движение по линиям справа налево — рассеяние фотона на позитроне.
3. Движение снизу вверх — аннигиляция электрона и позитрона с превращением их в два фотона.
4. Движение сверху вниз — рождение электрон-позитронной пары при столкновении двух фотонов.

Согласно правилам Фейнмана, в каждой вершине взаимопревращение частиц происходит с интенсивностью, пропорциональной некоторой константе связи (константе взаимодействия), и с соблюдением закона сохранения 4-импульса. Вместе с тем релятивистское соотношение между энергией и импульсом $\Epsilon = \sqrt{ P^2 c^2 + m^2 c^4 }$ (Ε — энергия, Р — обычный трёхмерный импульс, m — масса) выполняется только для начальных и конечных частиц, описываемых внешними линиями (реальные частицы). Это соотношение нарушается для промежуточных частиц, описываемых внутренними линиями, в связи с чем они называются виртуальными частицами. Для них Ε и Р могут независимо принимать значения от —∞ до +∞.

Поле может быть как однокомпонентным, так и многокомпонентным. В КЭД и фотонное (векторное электромагнитное) поле, и электрон-позитронное (спинорное) поле имеют по четыре компоненты. Каждая линия в диаграммы Фейнмана описывает сразу всю совокупность компонент соответствующего поля. В суперсимметричных моделях линия в диаграммы Фейнмана описывает распространение целого мультиплета элементарных частиц, которые соответствуют разным компонентам одного суперполя.

Тип физического процесса определяется только теми частицами, которые имеются на входе и выходе этого процесса. Поэтому все диаграммы Фейнмана с одним и тем же набором внешних линий вне зависимости от своей внутренней структуры соответствуют одному и тому же физическому процессу. Каждая из таких диаграмм вносит аддитивный вклад в амплитуду процесса. Так, помимо диаграммы, изображённой на рис. 3, эффекту Комптона соответствуют, например, диаграммы, приведённые на рис. 4.

Отличительной чертой этих диаграмм является наличие в них замкнутых циклов (петель), состоящих из внутренних линий. Диаграммы типа рис. 4,а называются однопетлевыми, а типа рис. 4, б и рис. 4, в — двухпетлевыми. Беспетлевые диаграммы типа рис. 3 называются древесными. Из всех диаграмм, соответствующих данному физическому процессу, древесные диаграммы имеют наименьшее число вершин. Поэтому в теории возмущений, в которой роль малого параметра играет константа связи, древесные диаграммы вносят основной вклад, а диаграммы с петлями описывают радиационные поправки.

Помимо разложения всех величин в ряд теории возмущений по константе связи используется разложение в ряд по константе Планка. Оказывается, что вклад диаграммы Фейнмана пропорционален $\hbar^n$, где n — число петель в данной диаграмме. Поэтому в классическом пределе (h → 0) вклад дают только древесные диаграммы. Кроме амплитуд рассеяния диаграммы Фейнмана используются для описания функций Грина (в КТП). В обоих случаях структуры диаграмм очень схожи, что отражает тесную связь между функциями Грина и амплитудами рассеяния. Существенным отличием является лишь то, что для функций Грина внешним линиям соответствует распространение виртуальных частиц (вне массовой поверхности).

Согласно правилам Фейнмана, каждой петле в диаграмме Фейнмана отвечает интегрирование по 4-импульсу, который может циркулировать в данной петле, не нарушая законов сохранения в вершинах. Некоторые из этих интегралов расходятся за счёт бесконечного объёма интегрирования (ультрафиолетовые расходимости). Существует последовательный метод, называемый процедурой регуляризации и перенормировки, который позволяет избавиться от этих расходимостей. В этом методе формулируются правила, по которым некоторым внутренним блокам (обобщённым вершинам, см. ниже) в диаграмме Фейнмана ставятся в соответствие определенные математический операции. С их помощью удаётся скомпенсировать ультрафиолетовые расходимости.

В выделении обобщённых вершин, используемых в процедуре перенормировок, существенную роль играет следующая классификация диаграмм Фейнмана. Диаграмма называется связной, если из любой её вершины можно попасть в любую другую, перемещаясь по внутренним линиям. В противном случае диаграмма называется несвязной. Диаграмма называется сильно связной или одночастично неприводимой, если она остаётся связной после разрыва любой одной внутр. линии. Различные совокупности вершин и внутренних линий диаграммы называются её поддиаграммами. Они имеют ту же классификацию, что и диаграммы. Обобщённые вершины—это сильно связные поддиаграммы, которые подсоединяются к другим частям диаграммы так же, как обычные вершины или внутр. линии. В КЭД три типа обобщённых вершин: собственная энергия электрона (подсоединяется двумя электрон-позитронными линиями), собственная энергия фотона или поляризация вакуума (подсоединяется двумя фотонными линиями), треугольная вершина (подсоединяется двумя электрон-позитронными линиями и одной фотонной).

Специфические особенности имеет диаграммная техника для моделей с неабелевыми калибровочными полями. Это связано с тем, что для их последовательной релятивистски инвариантной формулировки приходится рассматривать помимо физических компонент калибровочных полей и нефизические. Оказывается, что лишний вклад в наблюдаемые величины от нефизических компонент можно скомпенсировать вкладом некоторых «духовых» полей, имеющих неправильную связь спина со статистикой. Соответственно этому помимо диаграмм, описывающих распространение и взаимодействие материальных и калибровочных полей, приходится рассматривать диаграммы, в которых фигурируют «духовые» поля. Так, в квантовой хромодинамике помимо вершин, описывающих взаимодействие материальных полей (кварков) с калибровочными полями (глюонами) и глюонов между собой (рис. 5, а и рис. 5, б, 5, в), приходится вводить вершины, описывающие взаимодействие глюонов с «духами» (рис. 5, г).

Поскольку для физических процессов ни в начальном, ни в конечном состоянии «духи» присутствовать не могут, то вклад в амплитуду таких процессов дают только диаграммы, в которых нет внешних «духовых» линий. Однако при рассмотрении выражений, не зависящих от поляризации начальных и (или) конечных калибровочных полей, иногда технически более удобно суммировать по всем компонентам этих полей, а не только по физическим. В этом случае вклад нефиз. компонент может быть скомпенсирован вкладом от диаграмм, в которых в начальном и (или) конечном состоянии «духи» присутствуют.

Диаграммы Фейнмана широко используются для анализа аналитических свойств амплитуд рассеяния, в частности для исследования их особенностей (сингулярностей). Иногда это позволяет из всей совокупности диаграмм, отвечающих данному процессу, выделить некоторую подсовокупность, которая вносит основной вклад.

Метод диаграммы Фейнмана успешно применяется также в квантовой теории многих частиц, в частности для описания конденсированных тел и ядерных реакций.

См. также

• Правила Фейнмана
• Квантовая теория поля
• Квантовая электродинамика
• Mathematica, предназначенный для генерации и визуализации диаграмм Фейнмана.

Ссылки

• построение диаграмм Фейнмана в LaTeX и METAFONT, с сайта построение диаграмм Фейнмана. библиотека C++. Делает PostScript файл.

Литература

Элементарное изложение, которое должно быть понятно неспециалистам

• Р. Фейнман. КЭД — странная теория света и вещества. (Библиотечка «Квант», вып. 66) М., Наука, 1988

Диаграммная техника в квантовой электродинамике

Биленький С. М. Введение в диаграммную технику Фейнмана 1971

Диаграммная техника в физике элементарных частиц

• Фейнман Р., Теория фундаментальных процессов, пер. с англ., М., 1978
• Л. Б. Окунь. Лептоны и кварки.
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993
• Ициксон К., Зюбер Ж.-Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1—2, М., 1984.

Диаграммная техника в теории многочастичных систем

• А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский. Методы квантовой теории поля в статистической физике., М.,Физматгиз, 1962
• Л. С. Левитов, А. Н. Шитов. Функции Грина: задачи и решения. М., Физматлит, 2003 ISBN 5-9221-0098-X
• М. В. Садовский. Диаграмматика (Лекции по избранным задачам теории конденсированного состояния)
• M. V. Sadovskii. Diagrammatics: Lectures on Selected Problems in Condensed Matter Theory (World Scientific, 2006)