Возведение в степень


Возведение в степень

Возведение в степень — бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: a^b называется степенью с основанием a и показателем b.

Содержание

Натуральная степень

Число c называется n-й степенью числа a, если

c =\underbrace{a \cdot a\cdot ... \cdot a }_{n}.

Свойства:

  1. \left(ab\right)^n = a^nb^n
  2. \left({a\over b}\right)^n = {{a^n}\over{b^n}}
  3. a^na^m = a^{n+m}\!
  4. \left. {a^n\over {a^m}} \right. = a^{n-m},\quad n > m
  5. \left(a^n\right)^m = a^{nm}
  6. запись a^{n^m} не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности (a^n)^m \ne a^\left({n^m}\right), результат будет зависеть от последовательности действий, например, (2^2)^3=4^3=64\!, а 2^\left({2^3}\right)=2^8=256. Принято считать запись a^{n^m} равнозначной a^\left({n^m}\right), а вместо (a^n)^m можно писать просто a^{nm}, пользуясь предыдущим свойством.
  7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, a^b\ne b^a, например, 2^5=32, но 5^2=25.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень

	a^z = \begin{cases} 
              a^{z}, & \mbox{if }z>0
           \\ 1, & \mbox{if }z=0, a \ne \; 0
           \\ \frac{1}{a^{|z|}}, & \mbox{if }z<0, a \ne \; 0
              \end{cases}
0^n,n \leqslant 0 не определён

Рациональная степень

По определению, a^{p\over q} = \sqrt[q]{a^p}, \quad p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}, a \geqslant 0\

(результат не определен при a=0 и p<0)

См. корень степени q

Вещественная степень

Пусть a\geqslant 0.

В школе вещественную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда a^p < \;a^r< \;a^q, где p<q, |p-q|<\epsilon, где \epsilon — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между a^p и a^q принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование

Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

\log_a~x = b

Из определения логарифма вытекает, что x = a^b. Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен L, то искомое число равно 10^L.

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).

Комплексная степень

Сначала покажем, как вычисляется экспонента e^z, где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, z=x+yi.

\,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y.

Теперь рассмотрим общий случай a^b, где a,b оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество a^b=e^{b\ \operatorname{Ln}(a)}, где Ln — комплексный логарифм:

\,a^b = (re^{{\theta}i})^b = (e^{\operatorname{Ln}(r) + {\theta}i})^b = e^{(\operatorname{Ln}(r) + {\theta}i)b}.

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция

Поскольку в выражении x^y принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

Значок степени

Исторически степень, начиная с Декарта, обозначали «двухэтажной» записью вида a^b. Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень.

Первым таким значком были две звёздочки: **, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: \uparrow (о такой стрелке см. Стрелки Кну́та). Язык BASIC предложил символ ^ («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность. Его теперь часто используют и при написании формул и математических выражений в текстовых файлах.

Примеры:

3^2=9;     5^2=25;     2^3=8;     5^3=125

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

На компьютерной клавиатуре значок степени (циркумфлекс) находится на той же клавише, что и цифра 6. Для его ввода надо в режиме набора английского текста нажать Shift+6.

В случае нескольких степеней подряд, «многоэтажная» запись степени и запись её с помощью значка степени (значков потребуется несколько) имеют разную ассоциативность: В записи a^b^c^d^f (с помощью значка степени) ассоциативность левая, то есть возведения в степень выполняются в порядке очерёдности слева направо: ((((a^b)^c)^d)^f) — именно так вычисляет такое выражение (которое без скобок) программа Excel; в записи же a^{b^{c^{d^f\!}\!}\!}\! (многоэтажный способ) ассоциативность правая, то есть возведения в степень выполняются в порядке справа налево: (a^(b^(c^(d^f)))).

См. также

Ссылки

  • А. Б. Будак, Б. М. Щедрин «Элементарная математика» — Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Возведение в степень" в других словарях:

  • ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ — алгебраическое действие, заключающееся в умножении числа (a) самого на себя несколько (n) раз: а.а.... .а = аn. Напр., 34 = 3.3.3.3 = 81 …   Большой Энциклопедический словарь

  • возведение в степень — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN exponentiation …   Справочник технического переводчика

  • возведение в степень — алгебраическое действие, заключающееся в умножении числа (а) самого на себя несколько (n) раз: . Например, 34 = 3·3·3·3 = 81. * * * ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ, алгебраическое действие, заключающееся в умножении числа (a) самого на… …   Энциклопедический словарь

  • Возведение в степень —         алгебраическое действие, заключающееся в повторении числа (а) сомножителем несколько (n) раз:                  Число а называется основанием степени, n показателем степени, an степенью. Например, 3·3·3·3 = 34 = 81. Вторая степень числа… …   Большая советская энциклопедия

  • ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ — алгебр. деист вне, заключающееся в умножении числа (а) самого на себя неск. (n) раз: а х а х ... х а = ап. Напр., 34 = 3х3х3х3 = 81 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • возведение в степень (мат.) — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN exponentation …   Справочник технического переводчика

  • возведение в степень по модулю — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN modulo exponentiation …   Справочник технического переводчика

  • модульное возведение в степень — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] Тематики защита информации EN modular exponentiation …   Справочник технического переводчика

  • Быстрое возведение в степень — Алгоритм быстрого возведения в степень  алгоритм, предназначенный для возведения числа x в натуральную степень n за меньшее число умножений, чем это требуется в определении. Алгоритм не всегда оптимален. Например, при n=15 требуется 6 умножений,… …   Википедия

  • ВОЗВЕДЕНИЕ — ВОЗВЕДЕНИЕ, возведения, мн. нет, ср. (книжн.). Действие по гл. возвести. Возведение в сан. Возведение в степень, в квадрат и т.п. (мат.). Возведение здания. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

Книги

Другие книги по запросу «Возведение в степень» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.