- Условное матожидание
-
Усло́вное математи́ческое ожида́ние в теории вероятностей - это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.
Содержание
Определения
Будем считать, что дано вероятностное пространство . Пусть - интегрируемая случайная величина, то есть . Пусть также - под-σ-алгебра σ-алгебры .
УМО относительно σ-алгебры
Случайная величина называется условным математическим ожиданием X относительно σ-алгебры , если
- измерима относительно .
- ,
где - индикатор события A. Условное математическое ожидание обозначается .
Пример. Пусть Положим . Тогда - σ-алгебра, и . Пусть случайная величина X имеет вид
- .
Тогда
УМО относительно семейства событий
Пусть - произвольное семейство событий. Тогда условным математическим ожиданием X относительно называется
- ,
где - минимальная сигма-алгебра, содержащая .
Пример. Пусть Пусть также C = {1,2,3}. Тогда . Пусть случайная величина X имеет вид
- .
Тогда
УМО относительно случайной величины
Пусть другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием X относительно Y называется
- ,
где σ(Y) - σ-алгебра, порождённая случайной величиной Y.
Другое определение УМО X относительно Y:
Такое определение конструктивно описывает алгоритм нахождения УМО:
- найти математическое ожидание случайной величины X, принимая Y за константу y;
- Затем в полученном выражении y обратно заменить на случайную величину Y.
Пример:
Условная вероятность
Пусть - произвольное событие, и - его индикатор. Тогда условной вероятностью B относительно называется
- .
Замечания
- Условное математическое ожидание - это случайная величина, а не число!
- Условное математическое ожидание определено с точностью до событий вероятности нуль. Таким образом, если и -почти всюду, то . Отождествив случайные величины, различающиеся лишь на событиях вероятности нуль, получаем единственность условного математического ожидания.
- Взяв A = Ω, получаем по определению:
- ,
и в частности справедлива формула полной вероятности:
- .
- Пусть σ-алгебра порождена разбиением . Тогда
- .
В частности формула полной вероятности принимает классический вид:
- ,
а следовательно
- .
Основные свойства
- Если , то существует борелевская функция , такая что
- .
Условное математическое ожидание X относительно события {Y = y} по определению равно
- .
- Если п.н., то п.н.
- Если X независима от , то
- п.н.
В частности, если X,Y независимые случайные величины, то
- п.н.
- Если - две σ-алгебры, такие что , то
- .
- Если X - -измерима, и Y - случайная величина, такая что , то
- .
- "Математическое ожидание убирает условие". Это правило верно для УМО относительно случайной величины (УМО в таком случае будет случайной величиной) и для условной вероятности относительно случайной величины
- .
Дополнительные свойства
- Теорема Леви о монотонной сходимости;
- Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
- Лемма Фату;
- Неравенство Йенсена.
УМО для дискретных величин
Пусть Y - дискретная случайная величина, чьё распределение задаётся функцией вероятности . Тогда система событий {Y = yj} является разбиением Ω, и
- ,
а
- ,
где означает математическое ожидание, взятое относительно условной вероятности .
Если случайная величина X также дискретна, то
- ,
где - условная функция вероятности случайной величины X относительно Y.
УМО для абсолютно непрерывных случайных величин
Пусть X,Y - случайные величины, такие что вектор абсолютно непрерывен, и его распределение задаётся плотностью вероятности fX,Y(x,y). Введём условную плотность , положив по определению
- ,
где fY - плотность вероятности случайной величины Y. Тогда
- ,
где функция h имеет вид
- .
В частности,
- .
УМО в L2
Рассмотрим пространство случайных величин с конечным вторым моментом L2. В нём определены скалярное произведение
- ,
и порождённая им норма
- .
Множество всех случайных величин с конечным вторым моментом и измеримых относительно , где , является подпространством L2. Тогда оператор , задаваемый равенством
- ,
является оператором ортогонального проектирования на . В частности:
- Условное математическое ожидание - это наилучшее средне-квадратичное приближение X -измеримыми случайными величинами:
- .
- Условное математическое ожидание сохраняет скалярное произведение:
- .
- Условное математическое ожидание идемпотентно:
- .
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.