Усиленный закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.

Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.

Слабый закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$, определённых на одном вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. То есть их ковариация $\mathrm{cov}(X_i,X_j) = 0,\; \forall i \not=j$. Пусть $\mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}$. Обозначим S_n выборочное среднее первых n членов:

$S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}$.

Тогда $S_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} \mu$.

Усиленный закон больших чисел

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$, определённых на одном вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. Пусть $\mathbb{E}X_i = \mu,\; \forall i\in \mathbb{N}$. Обозначим S_n выборочное среднее первых n членов:

$S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,\; n \in \mathbb{N}$.

Тогда $S_n \to \mu$ почти наверное.

См. также

• Ошибка игрока
• Парадокс закономерности
• Центральная предельная теорема

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.
• Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, — М., 1982.