Уравнения Рейнольдса

Уравнения Рейнольдса (англ. RANS (Reynolds-averaged Navier-Stokes)) — уравнения Навье-Стокса (уравнения движения вязкой жидкости) осредненные по Рейнольдсу.

Используются для описания турбулентных течений. Метод осреднения Рейнольдса заключается в замене случайно изменяющихся характеристик потока (скорость, давление, плотность) суммами осредненных и пульсационных составляющих. В случае несжимаемой Ньютоновской жидкости уравнения Рейнольдса записываются в виде:

$\rho \frac{\partial \bar{u}_j \bar{u}_i }{\partial x_j} = \rho \bar{f}_i + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ - \bar{p}\delta_{ij} + \mu \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right) - \rho \overline{u_i^\prime u_j^\prime} \right ].$

Переменные, осредненные по времени, отмечены в этом уравнении чертой сверху, а пульсационные составляющие — апострофом. Левая часть уравнения (нестационарный член) описывает изменение количества движения жидкого объёма, вследствие изменения во времени осредненной составляющей скорости. Это изменение компенсируется (см. правую часть уравнения) осредненными внешними силами $\rho \bar{f}_i$, осредненными силами давления $- \bar{p}\delta_{ij}$, вязкостными силами $\mu \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j}+ \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right)$. Кроме того, в правую часть входят кажущиеся напряжения (напряжения Рейнольдса, турбулентные напряжения) $\left( - \rho \overline{u_i^\prime u_j^\prime} \right)$, учитывающие дополнительные потери и перераспределение энергии в турбулентном потоке (по сравнению с ламинарным потоком).

Уравнения Рейнольдса описывают осредненное по времени течение жидкости, их особенность (по сравнению с исходными уравнениями Навье-Стокса) заключается в том, что в них появились новые неизвестные функции, которые характеризуют кажущиеся турбулентные напряжения. Система уравнений Рейнольдса содержит шесть неизвестных и оказывается незамкнутой, в связи с чем, для её решения приходится привлекать дополнительную информацию.

Весьма существенным является то обстоятельство, что напряжения Рейнольдса являются случайными величинами, поэтому в расчетах используют статистические данные об их величине (модели турбулентности), которые получают путём анализа результатов эксперимента. Также необходимо отметить, что напряжения Рейнольдса являются свойством течения (а не свойством жидкости), поэтому, если условия рассматриваемой задачи будут существенно отличаться условий, в которых были получены статистические данные о величине напряжений Рейнольдса, результаты расчёта могут оказаться качественно неверными. К настоящему времени разработано значительное количество моделей турбулентности различной сложности, позволяющих оценить (смоделировать) величину турбулентных напряжений в различных условиях.

См. также

• Гидродинамика
• Computer-aided engineering

Литература

• Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т.: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990.
• Белов И. А., Исаев С. А., Коробков В. А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Л. Судостроение, 1989, 256 с.
• Белов И. А., Исаев С. А. Моделирование турбулентных течений: Учебное пособие / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2001. 108 с.
• Курбацкий А. Ф. Моделирование турбулентных течений. // Изв. СО АН СССР, 1989, вып. 5, с. 119 146
• Илюшин Б. Б. Моделирование процессов переноса в турбулентных течениях: Учебное пособие / Новосибирск. Гос. Ун. Новосибирск, 1999
• Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М. Мир, 1991, в 2-х т.
• Фрик П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций./ Перм. гос. техн. ун-т. Часть I. Пермь, 1998, 107 с.
• Фрик П. Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций./ Перм. гос. техн. ун-т. Часть II. Пермь, 1999, 136 с.
• Wilcox D. C. Turbulence modeling for CFD. 1998, 537 p.