Уравнение Диофанта


Уравнение Диофанта

Диофа́нтово уравнение или уравнение в целых числах — это уравнение с целыми коэффициентами и неизвестными, которые могут принимать только целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

Содержание

Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения: ax+by+\ldots+cz=d. В литературе под диофантовыми уравнениями иногда понимаются также уравнения более частного вида — с двумя неизвестными:

ax+by=c\qquad(1)

которые достаточно хорошо изучены.

Если (a,b) \nmid c (то есть c не делится нацело на НОД(a,\;b)), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, в этом случае (a,\;b) \ne 1, но тогда число, стоящее слева в (1) делится на (a,\;b), а стоящее справа — нет. Если в уравнении ax + by = 1 (a,\;b)=1, то оно разрешимо в целых числах.

Пусть (x_0,\;y_0) — решение уравнения ax + by = c. Тогда все его решения находятся по следующим формулам:

x = x0bn, y = y0 + an, n \in\mathbb Z.

Начальное (базисное) решение (x_0,\;y_0) можно построить таким образом. Если (a, b) \ne 1, то (если уравнение имеет решения) c делится на (a, b) в силу вышесказанного. Тогда уравнение сводится к виду a1x + b1y = c1 путем деления всех коэффициентов на (a,b). Для уравнения ax + by = c с (a,b) = 1 базисное решение получается из соотношения Безу для a, b:

ua + vb = 1,

исходя из которого, можно положить (x_0,\;y_0) = (c\cdot u,\;c\cdot v).

Некоторые другие уравнения

  • xn + yn = zn:
  • x2ny2 = 1, где n не является точным квадратом — уравнение Пелля
  • xzyt = 1, где z,t > 1, — уравнение Каталана
  • \sum_{i=0}^n a_i x^i y^{n-i} = c при n\ge 3 и c\ne 0 — уравнения Туэ

Неразрешимость в общем виде

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 г., состоит в нахождении алгоритма решения произвольных диофантовых уравнений. В 1970 г. Юрий Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Уравнение Диофанта" в других словарях:

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида где многочлен n й степени от одного или нескольких переменных . А. у. с одним неизвестным наз. уравнение вида: Здесь п целое неотрицательное число, наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является… …   Математическая энциклопедия

  • Диофантово уравнение — это уравнение вида где P целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта. Содержание 1 Примеры …   Википедия

  • Диофант Александрийский — В Википедии есть статьи о других людях с именем Диофант. Диофант Александрийский (др. греч …   Википедия

  • Алгебра — вместе с арифметикой есть наука о числах и через посредство чисел о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин как таковых, независимо от… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Алгебра —          Общие сведения          Алгебра один из больших разделов математики (См. Математика), принадлежащий наряду с арифметикой (См. Арифметика) и геометрией (См. Геометрия) к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А.,… …   Большая советская энциклопедия

  • ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с рациональными коэффициентами, решения к рых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обычно предполагается, что Д. у. имеют число неизвестных, превосходящее число уравнений, в связи с… …   Математическая энциклопедия

  • История арифметики — Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы …   Википедия

  • Ферма, Пьер — Пьер де Ферма Pierre de Fermat Дата рождения …   Википедия

  • История математики — История науки …   Википедия

  • Математика в Древней Греции — Данная статья  часть обзора История математики. Муза геометрии (Лувр) …   Википедия