Среднетоновый строй

Среднето́новый строй (нем. mitteltönige Stimmung, англ. meantone tuning) или среднето́новая темпера́ция — музыкальный строй (темперация), основанный на последовательной цепи квинт, каждая из которых темперирована (уменьшена по сравнению с акустически чистой^[1]) на одну и ту же величину. Таким образом, в среднетоновом строе все квинты в квинтовой цепи акустически равны, то есть имеют одно и то же отношение частот звуков (такое свойство строя часто также называют регулярностью^[2]). Характерной особенностью среднетоновых строёв является наличие в них «средних целых тонов» (отсюда и название): в таких строях большая секунда является точной половиной большой терции (относительно данного строя).

Особое место среди среднетоновых строёв занимает строй, в котором все квинты в квинтовой цепи темперированы на 1/4 дидимовой коммы: в нём большие терции, получаемые в результате откладывания четырёх темперированных таким образом квинт с переносом в общую октаву^[3], оказываются акустически чистыми (то есть имеющими отношение частот 5:4). Часто термин «среднетоновый» относят исключительно к этому строю.

Терминология и исторические замечания

Схема деления монохорда
в среднетоновом строе на 2/7 коммы
(Из «Основ гармоники» Дж. Царлино, 1558)

Схема деления монохорда
в среднетоновом строе на 1/4 коммы
(Из «Доказательств гармоники» Дж. Царлино,
2-е изд., 1589)

Величина, на которую темперируются квинты в среднетоновом строе, специфицируется в его названии, причём она обычно выражается в долях дидимовой коммы: например, «среднетоновый строй на 2/7 коммы» (англ. 2/7-comma meantone) — это строй, в котором все квинты в квинтовой цепи темперированы (уменьшены) на 2/7 (дидимовой) коммы. Определение среднетонового строя на 2/7 коммы у Дж. Царлино (1558)^[4] является первым документальным математически строгим описанием темперированного строя (в собственном смысле этого термина)^[5].

Среднетоновый строй на 1/4 коммы (англ. 1/4-comma meantone или quarter-comma meantone) был впервые описан Дж. Царлино (1571)^[6] и Ф. Салинасом (1577)^[7]. М. Преториус (1619)^[8] дал как практический метод настройки органа в среднетоновом строе на 1/4 коммы, так и весьма полное теоретическое описание последнего. В связи с этим данный строй также получил название «преторианского» (преториева, нем. prätorianische Stimmung), особенно употребительное в немецкой литературе, начиная с XVII века (у А. Веркмейстера и др.).

Средний целый тон (большая секунда) «преторианского» строя, в отличие от большего (9:8) и меньшего (10:9) целых тонов чистого строя, является точной половиной чистой большой терции (5:4), и, кроме того, является средним между бо́льшим и меньшим целыми тонами.

Согласно общему определению, к среднетоновым строям относится и равномерно темперированный, поскольку в нём все квинты темперированы на одну и ту же величину — 1/12 пифагоровой коммы^[9]. Целый тон в равномерно темперированном строе является средним, деля ровно пополам равномерно темперированную большую терцию^[10].

В русской научно-популярной литературе (например, у А. М. Волконского) вместо термина «среднетоновый» встречается также термин «мезотонический», являющийся морфологической передачей французского и итальянского терминов (фр. Tempérament mésotonique, итал. Temperamento mesotonico)^[11].

Среднетоновый строй на 1/4 коммы («преторианский»)

Теоретическая основа

Если в цепочке из четырёх квинт — например,

C-G-D-A-E,

все квинты настроены чисто (то есть имеют отношение частот звуков 3:2), то большая терция C-E, образованная «по её краям» (с учётом переноса звука E на две октавы вниз), является пифагоровой большой терцией (дитоном), то есть имеет отношение частот звуков 81:64. Пифагорова большая терция превосходит более благозвучную чистую большую терцию (5:4) на дидимову комму (81:80). Следовательно, если каждую квинту в приведённой цепочке уменьшить (темперировать) на 1/4-ю часть дидимовой коммы, то большая терция C-E по краям цепочки станет чистой. Отношение частот звуков 1/4-й части дидимовой коммы равно

$\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4\cdot5}}=\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}$,

и, следовательно, отношение частот звуков среднетоновой квинты (то есть квинты, уменьшенной на 1/4-ю часть дидимовой коммы), равно

$\frac32:\left(\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}\right)=\sqrt[4]5$ ^[12], или 696,5784 цента.

Сравнение с интервалами чистого строя

В следующей таблице приведены сравнения основных интервалов «преторианского» строя с интервалами чистого строя. Символом $\beta$ обозначено отношение частот ¼ коммы^[13].

Интервал среднетонового строя на ¼ коммы	Q	O	Отношение частот	Связь с интервалами чистого строя		Величина в центах
увеличенная прима, хроматический полутон	7	-4	$\frac{25}{16\sqrt[4]{5}} \!$	$\ = \frac{25}{24}\beta\!$	превосходит меньший хроматический полутон чистого строя (25:24) на ¼ коммы	76,05
малая секунда, диатонический полутон	-5	3	$\frac{8}{5\sqrt[4]{5}} \!$	$\ = \frac{16}{15}\beta\!$	превосходит меньший диатонический полутон чистого строя (16:15) на ¼ коммы	117,11
большая секунда, (средний) целый тон	2	-1	$\frac{\sqrt5}{2} \!$	$\ =\frac{10}{9}\beta^2=\frac98:\beta^2=\!$ $\ =\sqrt{\frac{10}9\cdot\frac98}=\sqrt{\frac54} \!$	больше меньшего целого тона (10:9) на ½ коммы и меньше большего целого тона (9:8) на ½ коммы; средний между этими целыми тонами; точная половина чистой большой терции (5:4)	193,16
малая терция	-3	2	$\frac45\sqrt[4]5\!$	$\ = \frac65:\beta\!$	меньше чистой малой терции (6:5) на ¼ коммы	310,26
большая терция	4	-2	$\frac54\!$		является чистой большой терцией	386,31
кварта	-1	1	$\frac2{\sqrt[4]5}\!$	$\ = \frac43\beta\!$	превосходит чистую кварту (4:3) на ¼ коммы	503,42
квинта	1	0	$\sqrt[4]5\!$	$\ = \frac32:\beta\!$	меньше чистой квинты (3:2) на ¼ коммы	696,58
малая секста	-4	3	$\frac85\!$		является чистой малой секстой	813,69
большая секста	3	-1	$\frac5{2\sqrt[4]5}\!$	$\ = \frac53\beta\!$	больше чистой большой сексты (5:3) на ¼ коммы	889,74

Построение

Основной тон: C, начало построения Es и далее по квинтовому кругу

Построение звукоряда можно произвести как и в пифагорейском строе, только взяв в качестве основы не чистую квинту а среднетоновую, которая имеет отношение частот:

$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25}$.

Обозначение ноты	Отношение частоты к тонике
Es	$\frac{8}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot 4$
B	$\frac{4}{9} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}5} \cdot 4$
F	$\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25} \cdot 2$
C	$\frac{1}{1} = 1$
G	$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25}$
D	$\frac{9}{4}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}5} \cdot \frac{1}{2}$
A	$\frac{27}{8}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot \frac{1}{2}$
E	$\frac{81}{16}:\frac{81}{80} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
H	$\frac{243}{32}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}25} \cdot \frac{1}{4}$
Fis	$\frac{729}{64}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}5} \cdot \frac{1}{8}$
Cis	$\frac{2187}{128}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}75} \cdot \frac{1}{16}$
Gis	$\frac{6561}{256}:\left(\frac{81}{80}\right)^2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{25}{16}$

Таким образом можно получить следующие интервалы

• Восемь чистых больших терций: Es-G, B-D, F-A, C-E, G-H, D-Fis, A-Cis, E-Gis
• Одиннадцать среднетоновых квинт: Es-B, B-F, F-C, C-G, G-D, D-A, A-E, E-H, H-Fis, Fis-Cis, Cis-Gis
• Одну увеличенную волчью квинту (уменьшённую сексту): Gis-Es с соотношением частот

$2 \cdot \frac{32}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot \frac{16}{25} = \frac{1024}{675} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \approx \frac{3{,}0625}{2} \approx 737{,}64\,\mathrm{Cent}$

• Четыре несколько завышенных больших терций (уменьшенные кварты): H-Es, Fis-B, Cis-F, Gis-C

$\frac{32}{25}\approx 427{,}37\,\mathrm{Cent}$

Наличие завышенных терций связано с наличием малой диесы, то есть с неравенством трёх больших терций одной октаве.

Другие среднетоновые строи

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Примечания

1. ↑ То есть имеющей отношение частот звуков 3:2.
2. ↑ Термин восходит к en:Р. Бозанкету. В другой терминологии (особенно присущей современной математической теории музыкальных строёв), регулярным строем (темперацией) называют абстрактно-математический строй, состоящий из бесконечного количества звуков (ступеней), относительные частоты которых образуют (естественным образом) конечнопорождённую свободную абелеву группу — ср., например, en:Regular Temperament.
3. ↑ Например, терция C-E получается четырьмя квинтовыми шагами: C-G-D-A-E.
4. ↑ Istitutioni harmoniche (1-е изд., 1558) II, 42—47.
5. ↑ См., например, Rasch, R. Tuning and Temperament // The Cambridge History of Western Music Theory. — NY: Cambridge University Press, 2002. — P. 193—222. — ISBN 0521623715.
6. ↑ Dimostrationi harmoniche (1-е изд., 1571), p. 263—269. В литературе, начиная с А. Дж. Эллиса, долгое время господствовало мнение о том, что среднетоновый строй на 1/4 коммы был впервые описан П. Аароном в последней главе книги Il Toscanello della Musica (1523). Однако описание Аарона имеет общий характер, без указания величин темперации. Его требование делать терции «звучными и чистыми, то есть слитными, насколько возможно» (sonora & giusta, cioe unita al suo possibile) нельзя всегда понимать буквально как требование их акустической чистоты (5:4), поскольку далее он явно указывает на их темперированность в своей настройке (per laqual participatione, restano spuntate overo diminute, le terze & seste). См. подробный анализ темперации П. Аарона, например, в статье Lindley, M. Early 16th-Century Keyboard Temperaments // Musica Disciplina. — 1974. — Т. 28. — P. 129—151.; JSTOR 20532169. Кроме того, Царлино, определяя среднетоновый строй с темперациями квинт на 1/4 коммы, называет его новым.
7. ↑ De musica libri septem, Liber III, Cap. XIII—XIV. Салинас отмечает, что к этому строю он пришёл независимо от Царлино: «Eam nos, dum essemus Romae iuvenes, excogitasse videbamur, et postea a Iosepho Zarlino traditam invenimus, nihil ab ea, quam nos excogitaueramus, discrepantem» («В молодости, когда я был в Риме, мне казалось, что это [именно] я изобрёл, а позже я обнаружил, что это же изложил Дж. Царлино, и то, что он изложил, ни в чём не отличалось от того, что изобрел я».) Поездка Салинаса в Рим состоялась в 1538 году — задолго до публикации им и Царлино описания среднетонового строя на 1/4 коммы.
8. ↑ Syntagma Musicum, T. II De Organographia, IV Theil, Cap. IV
9. ↑ Поскольку 1/12 часть пифагоровой коммы практически равна 1/11 части дидимовой (разность между этими частями комм составляет менее 0,00012 цента), равномерно темперированный строй многими авторами также классифицируется как среднетоновый строй на 1/11 (дидимовой) коммы — отличие такого строя от точно рассчитанного равномерно-темперированного имеет лишь формально-математический характер.
10. ↑ Иногда формально-математически к среднетоновым строям относят и пифагоров строй, в котором все квинты в квинтовой цепи — чистые, то есть не темперированы или, другими словами, «темперированы на нулевую величину». С такой точки зрения пифагоров строй является «среднетоновым строем на 0 долей коммы». Целый тон пифагорова строя (9:8) является точной половиной дитона, то есть большой терции пифагорова строя (81:64).
11. ↑ В английской научной литературе конца XIX — начала XX века также употреблялся термин mesotonic (например, А. Дж. Эллисом).
12. ↑ Отношение частот звуков $x$ квинты «преторианского» строя можно также получить из уравнения $x^4\,:\,(2/1)^2=5/4$, выражающего соотношение «четыре квинты „преторианского“ строя без двух октав дают чистую большую терцию».
13. ↑ То есть $\beta=\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}$.

Ссылки

• Практические способы настройки музыкального инструмента на слух (англ.):
  • Quarter-comma meantone — в среднетоновом строе на 1/4 коммы («преторианском»)
  • Third-comma meantone — в среднетоновом строе на 1/3 коммы
  • Sixth-comma meantone — в среднетоновом строе на 1/6 коммы

Литература

• Волконский, А. Основы темперации. — М.: Композитор, 1998.
• Lindley, M. Historical Survey of Meantone Temperaments to 1620 // Early Keyboard Journal. — 1990. — Т. 8.
• Leedy, D. A Venerable Temperament Rediscovered // Perspectives of New Music. — Vol. 29, No. 2 (Summer, 1991), pp. 202–211 (JSTOR #833439)
• Lindley, M. Fifteenth-Century Evidence for Meantone Temperament // Proceedings of the Royal Musical Association. — (1975—1976). — Т. 102. — P. 37—51. (JSTOR #766092)
• Lindley, M. Lutes, viols, and temperaments. — Cambridge etc.: Cambridge University Press, 1984. — P. 43—66. — ISBN 0521288835
• Lindley M., Turner-Smith R. F. Mathematical models of musical scales: a new approach. — Bonn: Verlag für Systematische Musikwissenschaft, 1993. — P. 52—54. — ISBN 3922626661
• Lindley, M. Zarlino's 2/7-comma meantone temperament // Music in Performance and Society. Essays in Honor of Roland Jackson (Detroit Monographs in Musicology) / M. Cole and J. Koegel, ed.. — Michigan: Harmonie Park Press, 1997. — ISBN 0899901069.
• Barbour, J. Murray. Tuning and Temperament: A Historical Survey. — New York: Dover Publications, 2004. — P. 25—44. — ISBN 0486434060 (Репринт первого издания 1951 г., East Lancing, Michigan State College Press)