Среднетоновый строй


Среднетоновый строй

Среднето́новый строй (нем. mitteltönige Stimmung, англ. meantone tuning) или среднето́новая темпера́ция — музыкальный строй (темперация), основанный на последовательной цепи квинт, каждая из которых темперирована (уменьшена по сравнению с акустически чистой[1]) на одну и ту же величину. Таким образом, в среднетоновом строе все квинты в квинтовой цепи акустически равны, то есть имеют одно и то же отношение частот звуков (такое свойство строя часто также называют регулярностью[2]). Характерной особенностью среднетоновых строёв является наличие в них «средних целых тонов» (отсюда и название): в таких строях большая секунда является точной половиной большой терции (относительно данного строя).

Особое место среди среднетоновых строёв занимает строй, в котором все квинты в квинтовой цепи темперированы на 1/4 дидимовой коммы: в нём большие терции, получаемые в результате откладывания четырёх темперированных таким образом квинт с переносом в общую октаву[3], оказываются акустически чистыми (то есть имеющими отношение частот 5:4). Часто термин «среднетоновый» относят исключительно к этому строю.

Содержание

Терминология и исторические замечания

Схема деления монохорда
в среднетоновом строе на 2/7 коммы
(Из «Основ гармоники» Дж. Царлино, 1558)
Схема деления монохорда
в среднетоновом строе на 1/4 коммы
(Из «Доказательств гармоники» Дж. Царлино,
2-е изд., 1589)

Величина, на которую темперируются квинты в среднетоновом строе, специфицируется в его названии, причём она обычно выражается в долях дидимовой коммы: например, «среднетоновый строй на 2/7 коммы» (англ. 2/7-comma meantone) — это строй, в котором все квинты в квинтовой цепи темперированы (уменьшены) на 2/7 (дидимовой) коммы. Определение среднетонового строя на 2/7 коммы у Дж. Царлино (1558)[4] является первым документальным математически строгим описанием темперированного строя (в собственном смысле этого термина)[5].

Среднетоновый строй на 1/4 коммы (англ. 1/4-comma meantone или quarter-comma meantone) был впервые описан Дж. Царлино (1571)[6] и Ф. Салинасом (1577)[7]. М. Преториус (1619)[8] дал как практический метод настройки органа в среднетоновом строе на 1/4 коммы, так и весьма полное теоретическое описание последнего. В связи с этим данный строй также получил название «преторианского» (преториева, нем. prätorianische Stimmung), особенно употребительное в немецкой литературе, начиная с XVII века (у А. Веркмейстера и др.).

Средний целый тон (большая секунда) «преторианского» строя, в отличие от большего (9:8) и меньшего (10:9) целых тонов чистого строя, является точной половиной чистой большой терции (5:4), и, кроме того, является средним между бо́льшим и меньшим целыми тонами.

Согласно общему определению, к среднетоновым строям относится и равномерно темперированный, поскольку в нём все квинты темперированы на одну и ту же величину — 1/12 пифагоровой коммы[9]. Целый тон в равномерно темперированном строе является средним, деля ровно пополам равномерно темперированную большую терцию[10].

В русской научно-популярной литературе (например, у А. М. Волконского) вместо термина «среднетоновый» встречается также термин «мезотонический», являющийся морфологической передачей французского и итальянского терминов (фр. Tempérament mésotonique, итал. Temperamento mesotonico)[11].

Среднетоновый строй на 1/4 коммы («преторианский»)

Теоретическая основа

Если в цепочке из четырёх квинт — например,

C-G-D-A-E,

все квинты настроены чисто (то есть имеют отношение частот звуков 3:2), то большая терция C-E, образованная «по её краям» (с учётом переноса звука E на две октавы вниз), является пифагоровой большой терцией (дитоном), то есть имеет отношение частот звуков 81:64. Пифагорова большая терция превосходит более благозвучную чистую большую терцию (5:4) на дидимову комму (81:80). Следовательно, если каждую квинту в приведённой цепочке уменьшить (темперировать) на 1/4-ю часть дидимовой коммы, то большая терция C-E по краям цепочки станет чистой. Отношение частот звуков 1/4-й части дидимовой коммы равно

\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4\cdot5}}=\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5},

и, следовательно, отношение частот звуков среднетоновой квинты (то есть квинты, уменьшенной на 1/4-ю часть дидимовой коммы), равно

\frac32:\left(\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}\right)=\sqrt[4]5 [12], или 696,5784 цента.

Сравнение с интервалами чистого строя

В следующей таблице приведены сравнения основных интервалов «преторианского» строя с интервалами чистого строя. Символом \beta обозначено отношение частот ¼ коммы[13].

Интервал среднетонового
строя на ¼ коммы
Q O Отношение
частот
Связь с интервалами чистого строя Величина
в центах
увеличенная прима,
хроматический полутон
7 -4 \frac{25}{16\sqrt[4]{5}} \! \ = \frac{25}{24}\beta\! превосходит меньший хроматический полутон чистого строя (25:24) на ¼ коммы 76,05
малая секунда,
диатонический полутон
-5 3 \frac{8}{5\sqrt[4]{5}} \! \ = \frac{16}{15}\beta\! превосходит меньший диатонический полутон чистого строя (16:15) на ¼ коммы 117,11
большая секунда,
(средний) целый тон
2 -1 \frac{\sqrt5}{2} \! \ =\frac{10}{9}\beta^2=\frac98:\beta^2=\!
\ =\sqrt{\frac{10}9\cdot\frac98}=\sqrt{\frac54} \!
больше меньшего целого тона (10:9) на ½ коммы и меньше большего целого тона (9:8) на ½ коммы;

средний между этими целыми тонами; точная половина чистой большой терции (5:4)

193,16
малая терция -3 2 \frac45\sqrt[4]5\! \ = \frac65:\beta\! меньше чистой малой терции (6:5) на ¼ коммы 310,26
большая терция 4 -2 \frac54\! является чистой большой терцией 386,31
кварта -1 1 \frac2{\sqrt[4]5}\! \ = \frac43\beta\! превосходит чистую кварту (4:3) на ¼ коммы 503,42
квинта 1 0 \sqrt[4]5\! \ = \frac32:\beta\! меньше чистой квинты (3:2) на ¼ коммы 696,58
малая секста -4 3 \frac85\! является чистой малой секстой 813,69
большая секста 3 -1 \frac5{2\sqrt[4]5}\! \ = \frac53\beta\! больше чистой большой сексты (5:3) на ¼ коммы 889,74

Построение

Основной тон: C, начало построения Es и далее по квинтовому кругу

Построение звукоряда можно произвести как и в пифагорейском строе, только взяв в качестве основы не чистую квинту а среднетоновую, которая имеет отношение частот:

\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25}.

Обозначение ноты Отношение частоты к тонике
Es \frac{8}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot 4
B \frac{4}{9} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}5} \cdot 4
F \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25} \cdot 2
C \frac{1}{1} = 1
G \frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25}
D \frac{9}{4}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}5} \cdot \frac{1}{2}
A \frac{27}{8}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot \frac{1}{2}
E \frac{81}{16}:\frac{81}{80} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}
H \frac{243}{32}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}25} \cdot \frac{1}{4}
Fis \frac{729}{64}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}5} \cdot \frac{1}{8}
Cis \frac{2187}{128}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}75} \cdot \frac{1}{16}
Gis \frac{6561}{256}:\left(\frac{81}{80}\right)^2  \cdot \frac{1}{16} = \frac{25}{16}

Таким образом можно получить следующие интервалы

  • Восемь чистых больших терций: Es-G, B-D, F-A, C-E, G-H, D-Fis, A-Cis, E-Gis
  • Одиннадцать среднетоновых квинт: Es-B, B-F, F-C, C-G, G-D, D-A, A-E, E-H, H-Fis, Fis-Cis, Cis-Gis
  • Одну увеличенную волчью квинту (уменьшённую сексту): Gis-Es с соотношением частот
2 \cdot \frac{32}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot \frac{16}{25} =
\frac{1024}{675} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \approx \frac{3{,}0625}{2} \approx 737{,}64\,\mathrm{Cent}
  • Четыре несколько завышенных больших терций (уменьшенные кварты): H-Es, Fis-B, Cis-F, Gis-C
\frac{32}{25}\approx 427{,}37\,\mathrm{Cent}

Наличие завышенных терций связано с наличием малой диесы, то есть с неравенством трёх больших терций одной октаве.

Другие среднетоновые строи

Примечания

  1. То есть имеющей отношение частот звуков 3:2.
  2. Термин восходит к en:Р. Бозанкету. В другой терминологии (особенно присущей современной математической теории музыкальных строёв), регулярным строем (темперацией) называют абстрактно-математический строй, состоящий из бесконечного количества звуков (ступеней), относительные частоты которых образуют (естественным образом) конечнопорождённую свободную абелеву группу — ср., например, en:Regular Temperament.
  3. Например, терция C-E получается четырьмя квинтовыми шагами: C-G-D-A-E.
  4. Istitutioni harmoniche (1-е изд., 1558) II, 42—47.
  5. См., например, Rasch, R. Tuning and Temperament // The Cambridge History of Western Music Theory. — NY: Cambridge University Press, 2002. — P. 193—222. — ISBN 0521623715.
  6. Dimostrationi harmoniche (1-е изд., 1571), p. 263—269. В литературе, начиная с А. Дж. Эллиса, долгое время господствовало мнение о том, что среднетоновый строй на 1/4 коммы был впервые описан П. Аароном в последней главе книги Il Toscanello della Musica (1523). Однако описание Аарона имеет общий характер, без указания величин темперации. Его требование делать терции «звучными и чистыми, то есть слитными, насколько возможно» (sonora & giusta, cioe unita al suo possibile) нельзя всегда понимать буквально как требование их акустической чистоты (5:4), поскольку далее он явно указывает на их темперированность в своей настройке (per laqual participatione, restano spuntate overo diminute, le terze & seste). См. подробный анализ темперации П. Аарона, например, в статье Lindley, M. Early 16th-Century Keyboard Temperaments // Musica Disciplina. — 1974. — Т. 28. — P. 129—151.; JSTOR 20532169. Кроме того, Царлино, определяя среднетоновый строй с темперациями квинт на 1/4 коммы, называет его новым.
  7. De musica libri septem, Liber III, Cap. XIII—XIV. Салинас отмечает, что к этому строю он пришёл независимо от Царлино: «Eam nos, dum essemus Romae iuvenes, excogitasse videbamur, et postea a Iosepho Zarlino traditam invenimus, nihil ab ea, quam nos excogitaueramus, discrepantem» («В молодости, когда я был в Риме, мне казалось, что это [именно] я изобрёл, а позже я обнаружил, что это же изложил Дж. Царлино, и то, что он изложил, ни в чём не отличалось от того, что изобрел я».) Поездка Салинаса в Рим состоялась в 1538 году — задолго до публикации им и Царлино описания среднетонового строя на 1/4 коммы.
  8. Syntagma Musicum, T. II De Organographia, IV Theil, Cap. IV
  9. Поскольку 1/12 часть пифагоровой коммы практически равна 1/11 части дидимовой (разность между этими частями комм составляет менее 0,00012 цента), равномерно темперированный строй многими авторами также классифицируется как среднетоновый строй на 1/11 (дидимовой) коммы — отличие такого строя от точно рассчитанного равномерно-темперированного имеет лишь формально-математический характер.
  10. Иногда формально-математически к среднетоновым строям относят и пифагоров строй, в котором все квинты в квинтовой цепи — чистые, то есть не темперированы или, другими словами, «темперированы на нулевую величину». С такой точки зрения пифагоров строй является «среднетоновым строем на 0 долей коммы». Целый тон пифагорова строя (9:8) является точной половиной дитона, то есть большой терции пифагорова строя (81:64).
  11. В английской научной литературе конца XIX — начала XX века также употреблялся термин mesotonic (например, А. Дж. Эллисом).
  12. Отношение частот звуков x квинты «преторианского» строя можно также получить из уравнения x^4\,:\,(2/1)^2=5/4, выражающего соотношение «четыре квинты „преторианского“ строя без двух октав дают чистую большую терцию».
  13. То есть \beta=\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}.

Ссылки

  • Практические способы настройки музыкального инструмента на слух (англ.):

Литература

  • Волконский, А. Основы темперации. — М.: Композитор, 1998.
  • Lindley, M. Historical Survey of Meantone Temperaments to 1620 // Early Keyboard Journal. — 1990. — Т. 8.
  • Leedy, D. A Venerable Temperament Rediscovered // Perspectives of New Music. — Vol. 29, No. 2 (Summer, 1991), pp. 202–211 (JSTOR #833439)
  • Lindley, M. Fifteenth-Century Evidence for Meantone Temperament // Proceedings of the Royal Musical Association. — (1975—1976). — Т. 102. — P. 37—51. (JSTOR #766092)
  • Lindley, M. Lutes, viols, and temperaments. — Cambridge etc.: Cambridge University Press, 1984. — P. 43—66. — ISBN 0521288835
  • Lindley M., Turner-Smith R. F. Mathematical models of musical scales: a new approach. — Bonn: Verlag für Systematische Musikwissenschaft, 1993. — P. 52—54. — ISBN 3922626661
  • Lindley, M. Zarlino's 2/7-comma meantone temperament // Music in Performance and Society. Essays in Honor of Roland Jackson (Detroit Monographs in Musicology) / M. Cole and J. Koegel, ed.. — Michigan: Harmonie Park Press, 1997. — ISBN 0899901069.
  • Barbour, J. Murray. Tuning and Temperament: A Historical Survey. — New York: Dover Publications, 2004. — P. 25—44. — ISBN 0486434060 (Репринт первого издания 1951 г., East Lancing, Michigan State College Press)



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Среднетоновый строй" в других словарях:

  • Музыкальный строй — У этого термина существуют и другие значения, см. Строй (значения). Музыкальный строй система отношений звуков по высоте, принятая в той или иной практике настройки музыкальных инструментов, которая характеризуется заданием частот звучания нот.… …   Википедия

  • Равномерно темперированный строй — Равномерно темперированный строй  музыкальный строй, при котором каждая октава делится на математически равные интервалы, чаще всего на двенадцать полутонов ( ). Такой строй господствует в европейской профессиональной музыке приблизительно с …   Википедия

  • Пифагорейский строй — Пифагорейский строй, Пифагоров строй сформулированный в соответствии с математическими расчётами интервальных величин, свойственными пифагорейской школе гармоники, способ построения отношений между звуками определённой высоты. Со времён поздней… …   Википедия

  • Равномернотемперированный строй — Темперированный строй строй, при котором каждая октава делится на набор одинаковых ступеней. Чаще всего деление происходит на двенадцать ступеней, отстоящих друг от друга на расстоянии хроматического полутона ( ). Такой строй господствует в… …   Википедия

  • Хроматический строй — Темперированный строй строй, при котором каждая октава делится на набор одинаковых ступеней. Чаще всего деление происходит на двенадцать ступеней, отстоящих друг от друга на расстоянии хроматического полутона ( ). Такой строй господствует в… …   Википедия

  • Натуральный строй — Равномерная темперизация. Натуральный строй музыкальный строй, использующий интервалы, построенные на основе обертонов. Октава (1:2), квинта (2:3) …   Википедия

  • Пифагоров строй — Пифагорейский строй (по др. традиции Пифагоров строй) способ построения звукоряда для настройки музыкальных инструментов, предложенный Пифагором Самосским около 550 год до н. э.. Звукоряд строился путём наложения чистых квинт на эталонный звук.… …   Википедия

  • Равномеpно темперированный звукоряд — Темперированный строй строй, при котором каждая октава делится на набор одинаковых ступеней. Чаще всего деление происходит на двенадцать ступеней, отстоящих друг от друга на расстоянии хроматического полутона ( ). Такой строй господствует в… …   Википедия

  • Равномерно темперированный звукоряд — Темперированный строй строй, при котором каждая октава делится на набор одинаковых ступеней. Чаще всего деление происходит на двенадцать ступеней, отстоящих друг от друга на расстоянии хроматического полутона ( ). Такой строй господствует в… …   Википедия

  • Хроматический звукоряд — Темперированный строй строй, при котором каждая октава делится на набор одинаковых ступеней. Чаще всего деление происходит на двенадцать ступеней, отстоящих друг от друга на расстоянии хроматического полутона ( ). Такой строй господствует в… …   Википедия