Пространство Lp

Пространство Lp

Пространство Lp

Пространства Lp (читается «эль-пэ») — это пространства измеримых функций таких, что их p-я степень интегрируема, где p \geqslant 1.

Lp — важнейший класс банаховых пространств. В дополнение, L2 (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Содержание

Построение пространства Lp

Определение 1. Пусть дано пространство с мерой (X,\;\mathcal{F},\;\mu). Фиксируем 1 \leqslant p < \infty и рассмотрим множество измеримых функций, определенных на этом пространстве, таких что

\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) < \infty.

Обозначим это множество \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) или просто \mathcal{L}^p.

Теорема 1. Пространство \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) линейно. Доказательство следует из элементарных свойств интеграла Лебега, а также неравенства Минковского.

На этом линейном пространстве можно ввести полунорму:

\|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right) ^{\frac{1}{p}}.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы.

Замечание 1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если f(x) = 0 почти всюду, то \|f\|_p = 0, что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.

Определение 2. Введём на \mathcal{L}^p отношение эквивалентности. Будем говорить, что f \sim g, если f(x) = g(x) почти всюду.

Это отношение разбивает пространство \mathcal{L}^p на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают.

Тогда на построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) \mathcal{L}^p/\sim можно ввести норму равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Определение 3. Факторпространство \left(\mathcal{L}^p/\!\sim,\; \|\cdot\|_p\right) с построенной на нём нормой называется пространством L^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) или просто Lp.

Замечание 2. Чаще всего вышеизложенное построение имеют в виду, но не упоминают явно. Тогда элементами Lp называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, «определённые с точностью до меры нуль».

Pictogram voting comment.svg Комментарий: при 0 < p < 1, Lp не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника[1], однако образуют метрическое пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота пространства Lp

Введённая выше норма вместе с линейной структурой порождает метрику

d(f,\;g) = \|f-g\|_p,

а следовательно и понятие сходимости.

Определение 3. Пусть есть последовательность функций \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p. Тогда эта последовательность сходится к функции f\in L^p, если

\|f_n-f\|_p \to 0 при n \to \infty.

Теорема 2. Пространство Lp полно, то есть любая фундаментальная последовательность в Lp сходится к элементу этого же пространства. Таким образом Lp — банахово пространство.

Пространство L²

В случае p = 2 введённая выше норма порождается скалярным произведением. Таким образом вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, таких как ортогональность, проекция и пр.

Определение 4. Введём на пространстве L2 скалярное произведение следующим образом:

\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,\overline{g(x)}\, \mu(dx),

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или

\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,{g(x)}\, \mu(dx),

если они вещественные. Тогда, очевидно,

\|f\|_2 = \sqrt{\langle f,\; f \rangle},

то есть норма порождается скалярным произведением. Используя это вместе с результатом о полноте любого Lp, заключаем, что имеет место

Теорема 3. Пространство L2 гильбертово.

Пространство L

Рассмотрим пространство \mathcal{L}^{\infty}(X,\;\mathcal{F},\;\mu) измеримых функций, ограниченных почти всюду. Отождествив между собой функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению

\|f\|_{\infty} = \mathrm{ess} \sup\limits_{x\in X} |f(x)|,

получается полное нормированное, то есть банахово пространство.

Метрика, порождаемая этой нормой, называется равномерной. Так же называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

f_n \to f в L^{\infty}, если \mathrm{ess} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0 при n \to \infty.

Свойства пространств Lp

  • Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве Lp. Пусть fn(x) = n1 / p при x\in(0,1/n] и fn(x) = 0 при x\in(1/n,1], f_n\in L^p. Тогда f_n \to 0 почти всюду. Но \|f_n\|_p^p=\int_0^1 |f_n|^p d\mu=1. Обратное также неверно.
  • Если \|f_n-f\|_p \to 0 при n\to \infty, то существует подпоследовательность f_{n_k}, такая что f_{n_k} \to f почти всюду.
  • Lp функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m) — подмножество L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m), состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда L^p_{C^{\infty}} всюду плотно в Lp.
  • L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m) — сепарабельно.
  • Если μ — конечная мера, например, вероятность, и 1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty, то L^q \subset L^p. В частности, L^2 \subset L^1, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Пространства сопряжённые к Lp

Пространством \left(L^p\right)^{\star} называется пространство линейных функционалов на Lp. Это пространство сопряжённое к Lp (копространство).

Теорема 4. Если 1 < p < \infty, то \left(L^p\right)^{\star} изоморфно Lq (пишем \left(L^p\right)^{\star} \cong L^q), где 1 / p + 1 / q = 1. Любой линейный функционал на Lp имеет вид:

g(f) = \int\limits_X f(x)\, \tilde{g}(x)\, \mu(dx),

где \tilde{g}(x)\in L^q.

В силу симметрии уравнения 1 / p + 1 / q = 1, само пространство Lp дуально (с точностью до изоморфизма) к Lq, а следовательно:

\left(L^p\right)^{\star \star} \cong L^p.

Этот результат справедлив и для случая p = 1, то есть \left(L^1\right)^{\star} = L^{\infty}. Однако, \left(L^{\infty}\right)^{\star} \not\cong L^1 и, в частности, \left(L^1\right)^{\star \star} \not\cong L^1.

Пространства lp, 1 ≤ p ≤ ∞

Пусть (X,\;\mathcal{F},\;\mu) = \left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right), где m — счётная мера на \mathbb{N}, то есть m(\{n\}) = 1,\; \forall n \in \mathbb{N}. Тогда если p<\infty, то пространство L^p\left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right) представляет собой семейство последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что

\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p < \infty.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

\|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}.

Получившееся нормированное пространство обозначается lp.

Если p=\infty, то мы рассматриваем пространство ограниченных последовательностей с нормой

\|x\|_{\infty} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}}|x_n|.

Получившееся пространство называется l^{\infty}. Оно является примером не сепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив p = 2, мы получаем гильбертово пространство l2, чья норма порождена скалярным произведением

\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n  \overline{y_n},

если последовательности комплекснозначные, и

\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n {y_n},

если они вещественны.

Пространство, дуальное к lp, где 1 < p < \infty изоморфно lq, 1 / p + 1 / q = 1. Для p=1: \left(l^1\right)^{\star} = l^{\infty}. Однако, \left(l^{\infty}\right)^{\star} \not\cong l^1.

Примечания

  1. Точнее, выполняется обратное неравенство треугольника:при 0 < p < 1 \forall f,g\in L_p(\Omega):\{\int\limits_\Omega|f(x)+g(x)|^p dx\}^\frac{1}{p}\geq \{\int\limits_\Omega |f(x)|^p dx\}^\frac{1}{p}+\{\int\limits_\Omega |g(x)|^p dx\}^\frac{1}{p}

Литература



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Пространство Lp" в других словарях:

  • ПРОСТРАНСТВО — фундаментальное (наряду с временем) понятие человеческого мышления, отображающее множественный характер существования мира, его неоднородность. Множество предметов, объектов, данных в человеческом восприятии одновременно, формирует сложный… …   Философская энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВО — П., будучи одним из важнейших элементов мифопоэтической архаичной модели мира, осмысливалось в рамках этой модели совершенно отлично от того, как оно представляется современному человечеству под воздействием научных взглядов (особенно после… …   Энциклопедия мифологии

  • Пространство —  Пространство  ♦ Espace    То, что остается, если убрать все; пустота, но пустота в трех измерениях. Ясно, что понятие пространства – абстракция (если мы действительно уберем все, то не останется вообще ничего, и это будет уже не пространство, а… …   Философский словарь Спонвиля

  • ПРОСТРАНСТВО — в математике множество объектов, между которыми установлены отношения, сходные по своей структуре с обычными пространственными отношениями типа окрестности, расстояния и т. д. Исторически первое и важнейшее математическое пространство евклидово… …   Большой Энциклопедический словарь

  • пространство — См. промежуток... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. пространство место, промежуток; площадь, участок, зона, район, область; окно, протяженность, прогалина, гаммада,… …   Словарь синонимов

  • пространство —         ПРОСТРАНСТВО фундаментальное понятие повседневной жизни и научного знания. Его обычное применение непроблематично в отличие от его теоретической экспликации, поскольку последнее связано с множеством других понятий и предполагает… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • ПРОСТРАНСТВО — ПРОСТРАНСТВО, объективная реальность, форма существования материи, характеризующаяся протяженностью и объемом. В реальном мире мы имеем дело с безграничным трехмерным пространством, в котором расположены объекты. В математике пространством… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • пространство — пространство: восприятие восприятие пространства пространство: восприятие: нарушение …   Большая психологическая энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВО —         культуры         важнейший аспект модели мира, характеристика протяженности, структурности, сосуществования, взаимодействия, координации элементов отд. культуры и соответствующих отношений между культурами, а также смысловой… …   Энциклопедия культурологии

  • ПРОСТРАНСТВО — ПРОСТРАНСТВО, пространства, ср. 1. Состояние материи, характеризующееся наличием протяженности и объема. Пространство и время основные формы существования материи. 2. Промежуток между чем нибудь; место, способное вместить что нибудь. Свободное… …   Толковый словарь Ушакова

Книги

Другие книги по запросу «Пространство Lp» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.