Точка Лемуана

То́чка Лемуа́на (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается $K$ или $L$) — одна из замечательных точек треугольника.

Определение

У точки Лемуана существует два равносильных определения:

• точка пересечения прямых, соединяющих каждую вершину треугольника с точками пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из двух других вершин.
• точка пересечения симедиан.

Утверждние о равносильности этих определений называется теоремой о симедиане.

Доказательство  

Иллюстрация ко второму определению точки Лемуана

Пусть $A_1$ — точка пересечения касательных в вершинах $B$ и $C$ к описанной окружности, $A_M$ — середина стороны $BC$. Тогда, так как $BC$ — поляра точки $A_1$ относительно описанной окружности, а $A_M$ — основание перпендикуляра на сторону $BC$ из центра описанной окружности. Из определения поляры следует, что точки $A_1$ и $A_M$ симметричны относительно окружности. Пусть точка $A_0$ — середина дуги $BC$ описанной окружности, не содержащей точки $A$. Тогда $\angle A_0AA_M = \angle A_0AA_1$, то есть прямая $AA_1$ и медиана $AA_M$ симметричны относительно биссектрисы $AA_0$. Аналогично симметричны медианам другие две прямые, построенные таким образом. Но их точка пересечения — точка Лемуана, а, значит, точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан и является точкой пересечения симедиан.

История

Впервые точку Лемуана обнаружил (1809) швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование (1847) Эрнста Вильгельма Гребе, в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе. Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки (1873).

Свойства

• Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана.
• Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.
• Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного проекциями точки Лемуана на стороны. Более того, такая точка единственна.
• Точка Лемуана является точкой Жергонна треугольника, образованного касательными к описанной окружности в вершинах треугольника.
• Точка Лемуана является антиперспектором описанной окружности. Трилинейные поляры точек на описанной окружности проходят через точку Лемуана.
• Если провести через точку Лемуана отрезки, параллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности.
• Если провести через точку Лемуана отрезки, антипараллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности. Точка Лемуана будет её центром.
• Окружность, построенная на отрезке $OK$ ($O$ — центр описанной окружности) как на диаметре, содержит точки Брокара. Эта окружность называется окружностью Брокара.
• Прямая $OK$ называется осью Брокара. Она содержит точки Аполлония и изогонально сопряжена гиперболе Киперта.
• При проективных преобразованиях, сохраняющих описанную окружность треугольника, точка Лемуана будет переходить в точку Лемуана образа этого треугольника.

Координаты

Трилинейные координаты точки Лемуана — $(a : b : c)$, барицентрические — $(a^2 : b^2 : c^2)$.

Примечания