Секционная кривизна

Секционная кривизна

В дифференциальной геометрии тензор кривизны Римана представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением. Назван в честь Бернхарда Римана.

Содержание

Определение

Тензор кривизны R(u,v) определяется как линейное преобразование касательного пространства в каждой точке многообразия, которое характеризует изменение вектора, параллельно перенесённого по бесконечно малому замкнутому параллелограмму, натянутому на векторы u,v. Тензор кривизны выражается через связность Леви-Чивита, или в общем случае аффинную связность \nabla (которая также называется ковариантной производной) следующим образом:

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w,

где [u,v]скобка Ли.

Если векторные поля задаются дифференцированием по координатам, u=\partial/\partial x_i и v=\partial/\partial x_j, и поэтому коммутируют ([u,v] = 0), формула принимает упрощённый вид

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w

таким образом, тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантных производных.

Примечание: Некоторые авторы определяют тензор кривизны с противоположным знаком

Связанные определения

  • Линейное преобразование w\mapsto R(u,v)w называется преобразованием кривизны.
  • Если u и v — два перпендикулярных единичных вектора в точке p, то выражение \langle R(u,v)v,\,u\rangle зависит только от плоскости σ в Tp которая натягивается на u и v.
    • Плоскость σ называется секционным направлением.
    • величина \langle R(u,v)v,\,u\rangle называется секционной кривизной в направлении σ, и обычно обозначается Kσ.

Компоненты тензора кривизны

В системе координат xμ компоненты тензора кривизны определяются так:

{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = dx^\rho(R(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\partial_{\sigma})

где \partial_{\mu} = \partial/\partial x^{\mu} — векторное поле, в каждой точке касательное к координатной линии xμ. В терминах символов Кристоффеля :

{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}
    - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
    + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
    - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}

В двумерном пространстве нетривиальной компонентой является только гауссова кривизна.

Симметрии

Тензор кривизны Римана обладает следующими свойствами симметрии:

R(u,v)=-R(v,u)^{}_{}
\langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle^{}_{}
R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0 ^{}_{}

Последнее тождество было открыто Риччи, хотя называется первым тождеством Бьянки или алгебраическим тождеством Бьянки.

Эти три тождества задают полный набор симметрий тензора кривизны, то есть для всякого тензора, удовлетворяющего этим соотношениям, можно найти риманово многообразие, кривизна которого описывается этим тензором. Простой комбинаторный подсчёт показывает, что тензор кривизны должен иметь n2(n2 − 1) / 12 независимых компонент.

Еще одно полезное соотношение следует из этих трех тождеств:

\langle R(u,v)w,z \rangle=\langle R(w,z)u,v \rangle^{}_{}

Тождество Бьянки (еще называется вторым тождеством Бьянки или дифференциальным тождеством Бьянки) привлекает ковариантные производные:

\nabla_uR(v,w)+\nabla_vR(w,u)+\nabla_w R(u,v) = 0

В заданной системе координат в окрестности некоторой точки многообразия приведённые выше тождества в компонентах тензора кривизны могут быть записаны как:

R_{abcd}^{}=-R_{bacd}=-R_{abdc}
R_{abcd}^{}=R_{cdab}
R_{a[bcd]}^{}=0 (первое тождество Бьянки)
R_{abcd}^{}=R_{cdab}^{} (следствие (1), (2) и (3))
R_{ab[cd;e]}^{}=0 (второе тождество Бьянки)

где квадратные скобки обозначают симметризацию.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Секционная кривизна" в других словарях:

  • СЕКЦИОННАЯ КРИВИЗНА — риманова кривизна дифференцируемого риманова многообразия М в точке рв направлении двумерной плоскости a (в направлении бивектора, определяющего плоскость a в точке рмногообразия М). Л. А. Сидоров …   Математическая энциклопедия

  • КРИВИЗНА — собирательное название ряда количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение свойств того или иного объекта (кривой, поверхности, риманова пространства и др.) от соответствующих объектов (прямая, плоскость,… …   Математическая энциклопедия

  • РИЧЧИ КРИВИЗНА — р и м а н о в а м н о г о о бр а з и я M в т о ч к е число, сопоставляемое каждому одномерному подпространству из касательного пространства М р по формуле где cR Риччи тензор, v вектор, порождающий одномерное подпространство, g метрич. тензор… …   Математическая энциклопедия

  • Теорема о душе — Теорема о душе  теорема в римановой геометрии, в значительной степени сводящая изучение полных многообразий неотрицательной секционной кривизны к компактному случаю. Чигер (англ.) и Громол (англ.) доказали теорему в 1972, обобщив… …   Википедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 …   Математическая энциклопедия

  • ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВО — риманово пространство М, у к рого секционная кривизна K(s) по всем двумерным направлениям а постоянна: если К(s)=k, то говорят, что П. к. п. имеет кривизну k. Согласно теореме Шура, риманово пространство М п, n>2, есть П. к. п., если для любой …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К. Гаусса (1777 1855),… …   Энциклопедия Кольера

  • Поле Киллинга — Поле Киллинга[1]  векторное поле скоростей (локальной) однопараметрической группы движений риманова или псевдориманова многообразия. Другими словами, поток, который генерируется векторным полем Киллинга, задает непрерывное… …   Википедия

  • Вектор Киллинга — Поле Киллинга  векторное поле скоростей (локальной) однопараметрической группы движений риманова или псевдориманова многообразия. Другими словами, поток, который генерируется векторным полем Киллинга, задает непрерывное однопараметрическое… …   Википедия

  • Векторное поле Киллинга — Поле Киллинга  векторное поле скоростей (локальной) однопараметрической группы движений риманова или псевдориманова многообразия. Другими словами, поток, который генерируется векторным полем Киллинга, задает непрерывное однопараметрическое… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»