Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Введение

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

$\frac{\partial}{\partial x}u(x,y)=0\, .$

Из этого соотношения следует, что значение функции u(x,y) не зависит от x. Следовательно, общее решение уравнения следующее:

$u(x,y) = f(y),\,$

где f — произвольная функция переменной y. Аналогичное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:

$\frac{dy(x)}{dx}=0\,$

и его решение

$y(x) = c,\,$

где c — произвольная константа (не зависящая от x). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит неизвестные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция $f(y)$) определяется единственным образом, если $u$ определена на линии $x=0$.

История

Первое уравнение в частных производных историки обнаружили в статьях Эйлера по теории поверхностей, относящихся к 1734-1735 годам (опубликованы в 1740 году). В современных обозначениях оно имело вид:

$\frac{\partial z} {\partial x} = f(x,y)$

Начиная с 1743 года, к работам Эйлера присоединился Даламбер, открывший общее решение волнового уравнения для колебаний струны. В последующие годы Эйлер и Даламбер опубликовали ряд методов и приёмов для исследования и решения некоторых уравнений в частных производных. Эти работы ещё не создали сколько-нибудь завершённой теории.

Второй этап в развитии данной темы можно датировать 1770-1830 годами. К этому периоду относятся глубокие исследования Лагранжа, Коши и Якоби. Первые систематические исследования уравнений в частных производных начал проводить Фурье. Он применил новый метод к решению уравнения струны — метод разделения переменных, позднее получивший его имя.

Новый общий подход к теме, основанный на теории непрерывных групп преобразований, предложил в 1870-х годах Софус Ли.

Классификация

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Размерность

Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Линейность

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными, либо известными функциями.

Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).

Однородность

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок

Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические, эллиптические и гиперболические.

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

$A\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2B\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+...=0,$

где A, B, C — коэффициенты, зависящие от переменных x и y, а многоточие означает члены, зависящие от x, y, u и частных производных первого порядка: ${\partial u}/{\partial x}$ и ${\partial u}/{\partial y}$. Это уравнение похоже на уравнение конического сечения:

$Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.$

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта $D=B^2 - A C$, классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

1. $D = B^2 - A C \, > 0$ — Гиперболическое уравнение,
2. $D = B^2 - A C \, < 0$ — Эллиптическое уравнение,
3. $D = B^2 - A C \, = 0$ — Параболическое уравнение (здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно).

В случае, когда все коэффициенты A, B, C — постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y. В случае, если коэффициенты A, B, C непрерывно зависят от x и y, множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых — эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения.

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

$\sum^{n}_{i=1} \sum^{n}_{j=1} a_{ij}(x_1, \cdots, x_n) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + F \left(x_1, \cdots, x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial u}{\partial x_n}\right ) = 0,$

оно может быть далее классифицировано^[1] в заданной точке $M_0(x_1^0, \cdots, x_n^0)$ по аналогии с соответствующей квадратичной формой:

$\sum^{n}_{i=1} \sum^{n}_{j=1} a_{ij}(x_1^0, \cdots, x_n^0) t_i t_j.$

Невырожденным линейным преобразованием

$s_i = \sum^{n}_{j=1} A_{ij}, i = 1, 2 \cdots n, \det \left \| A_{ij} \right \| \ne 0$

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

$\sum^{n}_{i=1} \lambda_i s^2_i.$

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов $\lambda_i$ в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке $M_0$) рассматриваемого уравнения:

1. Если в точке $M_0$ квадратичная форма в каноническом виде имеет все коэффициенты одного знака, то уравнение в этой точке называется уравнением эллиптического типа.
2. Если точке $M_0$ квадратичная форма в каноническом виде имеет коэффициенты различных знаков, но при этом все они отличны от 0, то уравнение в этой точке называется уравнением гиперболического типа.
3. Если точке $M_0$ квадратичная форма в каноническом виде имеет хотя бы один коэффициент равный 0, то уравнение в этой точке называется уравнением параболического типа.

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

1. Гиперболический тип может быть дополнительно классифицирован на:
   1. Нормальный гиперболический тип, если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
   2. Ультрагиперболический тип, если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
2. Параболический тип может быть дополнительно классифицирован на:
   1. Эллиптически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
   2. Гиперболически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
      1. Нормальный гиперболически-параболический тип
      2. Ультрагиперболически-параболический тип
   3. Ультрапараболический тип, если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара-Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение^[2]. Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n) для уравнения Лапласа:

$\frac{\part^2 u}{\partial x^2} + \frac{\part^2 u}{\partial y^2}=0,\,$

с начальными условиями:

$u(x,0) = 0, \,$

$\frac{\partial u}{\partial y}(x,0) = \frac{\sin n x}{n},\,$

где n — целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

$u(x,y) = \frac{(\mathrm{sh}\, ny)(\sin nx)}{n^2}.\,$

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно $\pi$ для любого ненулевого значения y. Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Почти-решение дифференциального уравнения с частными производными

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 12 мая 2011.

Почти-решение дифференциального уравнения с частными производными — понятие, введенное В. М. Миклюковым в связи с исследованиями решений с неустранимыми особенностями.

Подборку статей, касающихся описания свойств почти-решений (принцип максимума, неравенство Гарнака и др.) см. на http://www.uchimsya.info.

Примеры

Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \,$

где u(t,x) — температура, и α — положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:

$u(0,x)\,= f(x)$,

где f(x) — произвольная функция.

Уравнение колебания струны

• $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Здесь u(t,x) — смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c — скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

$u(0,x) = f(x), \,$

$u_t(0,x) = g(x), \,$

Двумерное уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа для неизвестной функции двух переменных имеет вид:

• $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$

Его решения называются гармоническими функциями.

Связь с аналитическими функциями

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции $f$ комплексной переменной $z=x+iy$ являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f=u+iv, то условия Коши-Римана утверждают следующее:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y},\,$

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0. \,$

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u, которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S, а на границе области $\partial S$ — некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие кравевые задачи:

• $u|_{\partial S}=\psi(x,y), \quad x,y\in \partial S$ — задача Дирихле
• $\frac{\partial u}{\partial n}\big|_{\partial S}=\psi(x,y), \quad x,y\in \partial S$ — задача Неймана

Решение уравнений математической физики

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

• аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
• численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Аналитическое решение

Уравнение колебаний

Рассмотрим задачу о колебаниях струны длины $L$. Будем считать, что на концах струны функция $u(x,t)$ обращается в ноль:

$u(x,t)\big|_{x=0}=u(x,t)\big|_{x=L}=0$

В начальный момент времени зададим начальные условия:

$u(x,t)\big|_{t=0}=f(x)$

$\dfrac{\partial u}{\partial t}(x,t)\big|_{t=0}=g(x)$

Представим решение в виде:

$u(x,t)\,=X(x)T(t)$

После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение $X(x)T(t)$ получаем:

$\dfrac{T''(t)}{a^2 T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}$

Правая часть этого уравнения зависит от $t$, левая — от $x$, следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через $-\lambda^2$:

$\dfrac{T''(t)}{a^2 T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2$

Отсюда находим уравнение для $X(x)$:

$X''(x)+\lambda^2 X(x)\,=0$

Нетривиальные решения этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при $\lambda=\dfrac{\pi n}{L}$ и имеют вид:

$X_n(x)\,=\sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)$

Рассмотрим уравнение для отыскания $T(t)$:

$T''(t)+a^2\lambda_n^2 T(t)\,=0$

Его решение:

$T(t)\,=A_n \cos\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)+B_n \sin\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)$

Следовательно, каждая функция вида

$u(x,t)\,=\left[A_n \cos\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)+B_n \sin\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)\right]\sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)$

является решением волнового уравнения.

Чтобы удовлетворить решение начальным условиям, составим ряд:

$u(x,t)\,=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left[A_n \cos\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)+B_n \sin\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)\right]\sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)$

Подстановка в начальные условия даёт:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}A_n \sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)=f(x),\quad \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{a\pi n}{L}B_n \sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)=g(x)$

Последние формулы представляют собой разложение функций $f(x)$ и $g(x)$ в ряд Фурье на отрезке $[0,L]$. Коэффициенты разложений вычисляются по формулам:

$A_n=\dfrac{2}{L}\int\limits_{0}^{L}f(x)\sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)dx,\quad B_n=\dfrac{2}{n\pi a}\int\limits_{0}^{L}g(x)\sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)dx$

Численное решение

Уравнение колебаний струны

Данный способ решения называется методом конечных дифференциалов. Он достаточно просто реализуем при помощи программирования.

Этот метод основан на определении производной функции $y = y(x)$:

$~y'= \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta y \over \Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}{{f(x + \Delta x)} - f(x) \over \Delta x}$

Если имеется функция $u = u(x,t)$, то частичная производная будет следующая:

$~u_x' = {\partial u \over \partial x} = \lim_{\Delta x \to 0}{{u(x + \Delta x, t) - u(x,t)} \over \Delta x}$

Так как $\Delta x$ мы используем достаточно маленький, знаки пределов можно отбросить. Тогда получим следующие выражения:

$~u_x' \approx {{u(x + \Delta x, t) - u(x,t)} \over \Delta x}$

$~u_t' \approx {{u(x, t + \Delta t) - u(x,t)} \over \Delta t}$

Для удобства в дальнейшем примем следующие обозначения:

$u(x,t) = u_i^j$

$u(x + \Delta x,t) = u_{i+1}^j$

$u(x,t + \Delta t) = u_i^{j+1}$

$\Delta x = h$,

$\Delta t = \tau$

Тогда предыдущие выражения можно записать так: $u_x' \approx {{u_{i+1}^j - u_i^j} \over h}$, $u_t' \approx {{u_i^{j+1} - u_i^j} \over \tau}$

Эти выражения называют правыми дифференциалами. Их можно записать и по-другому: $u_x' \approx {{u_i^j - u_{i-1}^j} \over h}$, $u_t' \approx {{u_i^j - u_i^{j-1}} \over \tau}$ — это левые дифференциалы.

Просуммировав оба выражения получим следующее:

$2 u_x' \approx {{u_i^j - u_{i-1}^j + u_{i+1}^j - u_i^j} \over h}$

$2 u_t' \approx {{u_i^j - u_i^{j-1} + u_i^{j+1} - u_i^j} \over \tau}$

из которых следует:

$u_x' \approx {{u_{i+1}^j - u_{i-1}^j} \over 2h}$

$u_t' \approx {{u_i^{j+1} - u_i^{j-1}} \over 2\tau}$

Оба выражения называют дифференциалом в центральной точке. Они приближают производную с большей точностью.

Аналогично можно получить и дифференциалы второго порядка:

$u_{xx}^{''} = {{\partial ^2u} \over {\partial x^2}} \approx {{u_{i-1}^j - 2u_i^j + u_{i+1}^j} \over h^2}$

$u_{tt}^{''} = {{\partial ^2u} \over {\partial t^2}} \approx {{u_i^{j-1} - 2u_i^j + u_i^{j+1}} \over \tau ^2}$

Уравнение колебаний струны записывается в такой форме: $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$.

Дополнительные условия задаются в виде: $u|_{x=0} = f_1(t)$, $u|_{x=l} = f_2(t)$, $u|_{t=0} = g_1(x)$, $u_t|_{t=0} = g_2(x)$,

где $f_1(t)$ и $f_2(t)$ — позиции концов (креплений) струны во времени,

а $g_1(x)$ и $g_2(x)$ — начальное состояние и скорость струны из которой мы можем получить состояние струны в следующий момент времени используя формулу (см. Метод Эйлера):

Сетка значений функции

$u_i^{j+1} = \tau \cdot g_2(x) + u_i^j$.

В вычислениях используют дискретизацию струны (разделяют её на одинаковые интервалы, длина которых $h$ (см.рис).

Значения функции остальным $x$ и $t$ можно вычислить из уравнения колебаний струны:

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

${{\partial ^2u} \over {\partial t^2}} = {{u_i^{j+1} - 2u_i^j + u_i^{j-1}} \over \tau ^2}$

${{\partial ^2u} \over {\partial x^2}} = {{u_{i+1}^j - 2u_i^j + u_{i-1}^j} \over h^2}$

${{u_i^{j+1} - 2u_i^j + u_i^{j-1}} \over \tau ^2} = a^2{{u_{i+1}^j - 2u_i^j + u_{i-1}^j} \over h^2}$

$u_i^{j+1} = {{\tau ^2 a^2 \over h^2}} \left( u_{i+1}^j - 2u_i^j + u_{i-1}^j \right) + 2u_i^j - u_i^{j-1}$

Таким образом, мы получили схему, по которой можно получить значения функции для любых $x$ и $t$, используя значения функции при предыдущих $x$ и $t$. Схематично это можно представить так:

Этот метод даёт приближённый ответ, степень точности $\Theta (\tau ^2 + h^2)$. Для достаточно точных результатов необходимо использовать интервалы $h < 0.1$ и $\tau \le {h^2 \over 2}$.

См. также

• Обыкновенное дифференциальное уравнение
• Интегральное уравнение
• Интегро-дифференциальные уравнения

Ссылки

• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1
• Материалы по УрЧП на сайте «Учитесь.ру»
• Программа, по XML-описанию краевой задачи для уравнения с частными производными, строящая программу на Си, численно решающую эту задачу
• Демидов С. С. Возникновение теории дифференциальных уравнений с частными производными // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1975. — № 20. — С. 204-220.

Примечания

1. ↑ Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Глава II. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. // Лекции по математической физике. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 49. — 416 с. — ISBN 5-211-04899-7
2. ↑ A.M. Nakhushev Cauchy–Kovalevskaya theorem (english) (html). Springer Online (2001). — Теорема Коши-Ковалевской. Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012. Проверено 9 января 2010.