Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Определение

Квадратная матрица $D=(d_{ij})$, где $d_{ij}=0$ для всяких $i\neq j$, называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица имеет вид:

$D=\begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & d_{nn} \end{bmatrix},$

Такая матрица является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной.

Обозначение

Диагональная матрица $D$ c элементами $(d_{1},d_{2},\dots,d_{n})$, стоящими на главной диагонали обозначается следующим образом:

$D=\mathrm{diag}\,\{d_{1},d_{2},\dots,d_{n}\}$.

Свойства

• Диагональная матрица является симметричной:

$D^{T}=D$.

• Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.
• Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:

$\mathrm{det}\,D=d_{11}d_{22}\dots d_{nn}$.

• Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть

$D_{ij}=\begin{cases}0,&i\ne j;\\ \prod\limits_{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j.\end{cases}$

• Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

$D^{-1}=\begin{bmatrix} d_{11}^{-1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22}^{-1} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & d_{nn}^{-1} \end{bmatrix},$

Примеры

Нулевая матрица

$~0=\mathrm{diag}\,\{0,0,\dots,0\}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 0 \end{bmatrix},$

и единичная матрица

$E=\mathrm{diag}\,\{1,1,\dots,1\}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{bmatrix},$

доставляют простейшие примеры диагональных матриц.

Приведение к диагональной форме

Иногда недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса. Достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы. В общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме.

Литература

• См. список литературы по линейной алгебре

См. также

• Единичная матрица
• Список матриц