Рациональные числа

Четверти

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью $\frac{m}{n}$, где m — целое число, а n — натуральное число. При этом число m называется числителем, а число n — знаменателем дроби $\frac{m}{n}$. Такую дробь следует интуитивно понимать, как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся. В реальной жизни можно использовать рациональные числа для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Множество рациональных чисел обозначается $\mathbb{Q}$ и может с определённой долей строгости быть записано в виде: $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}$. Нужно понимать, что одинаковые дроби, такие как, например, $\frac{3}{4}$ и $\frac{9}{12}$, входят в это множество как одна дробь. Таким образом, можно более формально говорить о множестве рациональных чисел, как о множестве несократимных дробей с целым числителем и натуральным знаменателем: $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, GCD \left( m, n \right) = 1 \right\}$. Здесь $GCD \left( m, n \right)$ — наибольший общий делитель чисел m и n. Его равенство единице гарантирует взаимную простоту числителя и знаменателя, что, в свою очередь, гарантирует несократимость дроби $\frac{m}{n}$.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа $a=\frac{m}{n}$ знаменатель n = 1, то a = m является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Во-первых, кажется, что рациональных чисел больше чем целых, на самом же деле и тех и других счётное число. Во-вторых, возникает предположение, что такими числами можно измерить абсолютно точно любое расстояние в пространстве. На самом деле, для этого используются действительные числа, рациональных же чисел для этого недостаточно.

Терминология

Формальное определение

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар $\left\{ (m,\;n) \mid m \in \mathbb{Z},\;n \in \mathbb{N} \right\}$ по отношению эквивалентности $(m,\;n)\sim (m',\;n')$, если $m\cdot n'=m'\cdot n$. При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

• $\left(m_1,\;n_1\right) + \left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot n_2 + m_2\cdot n_1,\;n_1\cdot n_2\right);$
• $\left(m_1,\;n_1\right)\cdot\left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot m_2,\;n_1 \cdot n_2\right).$

Связанные определения

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной.

Например, дроби $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{8}$ и $\frac{1}{2}$ — правильные дроби, в то время как $\frac{8}{3}$, $\frac{9}{5}$ и $\frac{2}{1}$ — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби.

Например, $2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}$. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Комментарий

Термин дробное число (дробь) иногда используется как синоним к термину рациональное число, а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае, дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа — всего лишь частный случай дробных.

Свойства

Основные свойства

Рациональные числа удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.^[1]

1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа $a=\frac{m_a}{n_a}$ и $b=\frac{m_b}{n_b}$ связаны тем же отношением, что и два целых числа $m_a \cdot n_b$ и $m_b \cdot n_a$; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа $\left| b \right|$ и $\left| a \right|$; если же вдруг a неотрицательно, а b — отрицательно, то a > b.

   $\forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \left( a&amp;lt;b \lor a&amp;gt;b \lor a=b \right)$

   

   Суммирование дробей

2. Операция сложения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается $\left( a+b \right)$, а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: $\frac{m_a}{n_a}+\frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot n_b + m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}$.

   $\forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \exists \left( a+b \right) \in \mathbb{Q}$

3. Операция умножения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается $\left( a \cdot b \right)$, а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: $\frac{m_a}{n_a} \cdot \frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b}$.

   $\forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \exists \left( a \cdot b \right) \in \mathbb{Q}$

4. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.

   $\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~ \left( a&amp;lt;b \land b&amp;lt;c \Rightarrow a&amp;lt;c \right) \land \left( a=b \land b=c \Rightarrow a=c \right)$

5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

   $\forall a,b \in \mathbb{Q} ~~ a+b=b+a$

6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

   $\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ \left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right)$

7. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.

   $\exists 0 \in \mathbb{Q} ~ \forall a \in \mathbb{Q} ~~ a+0=a$

8. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

   $\forall a \in \mathbb{Q} ~ \exists \left( -a \right) \in \mathbb{Q} ~~ a + \left( -a \right) = 0$

9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

   $\forall a,b \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot b = b \cdot a$

10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

    $\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ \left( a \cdot b \right) \cdot c = a \cdot \left( b \cdot c \right)$

11. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

    $\exists 1 \in \mathbb{Q} ~ \forall a \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot 1 = a$

12. Наличие обратных чисел. Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.

    $\forall a \in \mathbb{Q} ~ \exists a^{-1} \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot a^{-1} = 1$

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

    $\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ \left( a+b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

    $\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ a&amp;lt;b \Rightarrow a+c&amp;lt;b+c$

15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

    $\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ c&amp;gt;0 \land a&amp;lt;b \Rightarrow a \cdot c &amp;lt; b \cdot c$

16. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число a, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a.

    $\forall a \in \mathbb{Q} ~ \exists n \in \mathbb{N} ~~ \sum_{k=1}^{n}1&amp;gt;a$

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

• Второе отношение порядка «>» также транзитивно.

  $\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ a&amp;gt;b \land b&amp;gt;c \Rightarrow a&amp;gt;c$

• Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.

  $\forall a \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot 0 = 0$

• Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.

  $\forall a,b,c,d \in \mathbb{Q} ~~ a&amp;gt;b \land c&amp;gt;d \Rightarrow a+c&amp;gt;b+d$

• Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел $\mathbb{Z}$) относительно операций сложения и умножения дробей.

  $\left(\mathbb{Q}, +, \cdot \right)$ — поле

• Каждое рациональное число является алгебраическим.

  $\mathbb{Q} \subset \mathbb{A}$

Счётность множества

Нумерация рациональных чисел

Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти мощность их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно. Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, т. е. устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел.

Самый простой из таких алгоритмов выглядит следующим образом. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой i-ой строке в каждом j-ом столбце которой располагается дробь $\frac{i}{j}$. Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются $\left( i,j \right)$, где i — номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а j — номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

• Если текущее положение $\left( i,j \right)$ таково, что i — нечётное, а j = 1, то следующим положением выбирается $\left( i+1,j \right)$.
• Если текущее положение $\left( i,j \right)$ таково, что i = 1, а j — чётное, то следующим положением выбирается $\left( i,j+1 \right)$.
• Если для текущего положения $\left( i,j \right)$ сумма индексов $\left( i+j \right)$ нечётна, то следующее положение — $\left( i-1,j+1 \right)$.
• Если для текущего положения $\left( i,j \right)$ сумма индексов $\left( i+j \right)$ чётна, то следующее положение — $\left( i+1,j-1 \right)$.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. Т. е. дроби 1 / 1 ставится в соответствие число 1, дроби 2 / 1 — число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел $\mathbb{Q}_+$ счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Т. о. множество отрицательных рациональных чисел $\mathbb{Q}_-$ тоже счётно. Их объединение $\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_-$ также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел $\mathbb{Q}=\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_- \cup \left\{ 0 \right\}$ тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.

Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, т. к. на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел. На самом деле это не так и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.

Недостаточность рациональных чисел

Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

Рациональными числами вида 1 / n при больших n можно измерять сколь угодно малые величины. Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния. Легко показать, что это не верно.

Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна $\sqrt{2}$, т. е. числу, квадрат которого равен 2.

Если допустить, что число $\sqrt{2}$ представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое число m и такое натуральное число n, что $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$, причём дробь $\frac{m}{n}$ несократима, т. е. числа m и n — взаимно простые.

Если $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$, то $2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m^2}{n^2}$, т. е. m² = 2n². Следовательно, число m² чётно, но произведение двух нечётных чисел нечётно, что означает, что само число m также чётно. А значит найдётся натуральное число k, такое что число m можно представить в виде m = 2k. Квадрат числа m в этом смысле m² = 4k², но с другой стороны m² = 2n², значит 4k² = 2n², или n² = 2k². Как уже показано ранее для числа m, это значит, что число n — чётно, как и m. Но тогда они не являются взаимно простыми, так как оба делятся пополам. Полученное противоречие доказывает, что $\sqrt{2}$ не есть рациональное число.

Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на числовой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к необходимости расширения понятия рациональных чисел до вещественных.

Примечания

1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 30 — 31. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

Литература

• И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.
• П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
• И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

См. также

• Дроби Фарея
• Непрерывная дробь
• Рациональная дробь

Ссылки

Онлайн Калькулятор Рациональных Чисел

Числа

натуральные | целые | рациональные | вещественные | p-адические
иррациональные | алгебраические | трансцендентные
комплексные | дуальные | двойные
кватернионы | числа Кэли (октавы) | седенионы | гиперкомплексные