Пространство Гильберта


Пространство Гильберта

Ги́льбертово простра́нство — особый тип банаховых пространств, обобщение евклидова пространства на бесконечномерный случай. При этом гильбертово пространство не обязательно является бесконечномерным.

Гильбертово пространство есть банахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением.

Названо в честь Давида Гильберта.

Содержание

Связанные определения

  • Наименьшая из мощностей подмножеств гильбертова пространства H, для которых замыкание линейной оболочки совпадает с H, называется размерностью пространства H.

Свойства

  • Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства H среди прочих банаховых пространств, является тождество параллелограмма:
    
(\forall x,y\in H)\quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2).
    • Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
      
(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2.
    • Аналогично, если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
      
(x,y) = \left\|\dfrac{x+y}{2}\right\|^2-\left\|\dfrac{x-y}{2}\right\|^2+
i\left\|\dfrac{x+iy}{2}\right\|^2-i\left\|\dfrac{x-iy}{2}\right\|^2.
  • Любые два гильбертовы пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны. В частности,
  • Теорема Рисса — Фреше: Для любого непрерывного линейного функционала f на Гильбертовом пространстве H существует единственный вектор  y \in H такой, что f(x) = (x,y) для любого  x \in H . При этом норма линейного функционала f совпадает с нормой вектора y:
    \|f\|=\sup_{\|x\|=1} |f(x)|= \sqrt{(y,y)}.

Примеры

определён и конечен. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством
(f, g) = \int\limits_a^b\!f{g}\,dx.

Для пространств \ell^2 и L2[a,b] над полем комплексных чисел, последовательностей комплексных чисел и комплекснозначных функций, определение скалярного произведения отличается лишь комплексной сопряжённостью второго сомножителя:

(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y}_n;
(f, g) = \int\limits_a^b\!f\overline{g}\,dx.

См. также

Литература

  • Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, Перевод с английского И. Д. Новикова и Т. В. Соколовской; под ред. Р. А. Минлоса. — М.: Издательство «Мир», 1970. — 352 с.
  • Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Пространство Гильберта" в других словарях:

  • ПРОСТРАНСТВО — фундаментальное (наряду с временем) понятие человеческого мышления, отображающее множественный характер существования мира, его неоднородность. Множество предметов, объектов, данных в человеческом восприятии одновременно, формирует сложный… …   Философская энциклопедия

  • Пространство, время, материя —         «ПРОСТРАНСТВО, ВРЕМЯ, МАТЕРИЯ» ставший классическим итоговый труд Г. Вейля по теории относительности (Weyl H. Raum, Zeit, Materie. Verlesungen ueber allgemeine Relativitaetstheorie. Berlin, 1. Aufl. 1918; 5. Aufl. 1923; рус. пер.: Вейль П …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • ГИЛЬБЕРТА СХЕМА — конструкция в алгебраич. геометрии, позволяющая снабжать множество замкнутых подмногообразий проективного пространства с заданным Гильберта многочленом структурой алгебраич. многообразия. Более точно, пусть X проективная схема над локально… …   Математическая энциклопедия

  • ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА ОПЕРАТОР — оператор А, действующий в гильбертовом пространстве H такой, что для любого ортонормированного базиса в Нвыполнено условие: (достаточно, однако, справедливости этого для нек рого базиса). Г. Ш. о. является компактным оператором, для s чисел к… …   Математическая энциклопедия

  • ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА НОРМА — норма линейного оператора Т, действующего из гильбертова пространства Нв гильбертово пространство , имеющая вид , где ортонор мированный базис в H. Г. Ш. н. удовлетворяет всем аксиомам нормы и не зависит от выбора базиса; ее свойства: норма… …   Математическая энциклопедия

  • Бесконечномерное пространство — пространство, содержащее бесчисленное множество линейно независимых элементов. Например, в квантовой механике пространство Гильберта (гильбертово пространство), выражающее бесконечное число квантовых состояний (волновую функцию) системы… …   Начала современного естествознания

  • Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор A на гильбертовом пространстве H с конечной нормой Гильберта Шмидта, т.е. для которого существует такой ортонормированный базис в H, что Если это верно в каком то ортономированном базисе, то это верно в любом… …   Википедия

  • Оператор Гильберта — Шмидта это ограниченный оператор на гильбертовом пространстве с конечной нормой Гильберта Шмидта, т. е. для которого существует такой ортонормированный базис в , что Если это верно в каком то ортономированном базисе, то это верно в любом… …   Википедия

  • ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — векторное пространство Н над полем комплексных (или действительных) чисел вместе с комплексной (действительной) функцией ( х, у), определенной на и обладающей следующими свойствами. то существует такой элемент , что элемент хназ. пределом… …   Математическая энциклопедия

  • Пространства Гильберта — Гильбертово пространство особый тип банаховых пространств, обобщение евклидова пространства на бесконечномерный случай. При этом гильбертово пространство не обязательно является бесконечномерным. Гильбертово пространство есть банахово… …   Википедия

Книги

  • Пространство и время, Д.Е. Бурланков. Цель этой книги - показать, что пространство является физическим объектом. Оно определяется некоторым набором параметров, изменение которых с течением времени определяется динамическими… Подробнее  Купить за 558 грн (только Украина)
  • Пространство и время, Д.Е. Бурланков. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Цель этой книги - показать, что пространство является физическим объектом. Оно определяется… Подробнее  Купить за 445 руб
  • Красные кони, Владимир Щербаков. Издание 1976 года. Сохранность хорошая. Рассказы сборника повествуют о дальних космических странствиях, о не открытых пока мирах. Многие страницы посвящены событиям, происходящим в нашей… Подробнее  Купить за 250 руб


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.