Производное множество

Преде́льная то́чка множества в общей топологии — это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где X — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на X топология. Пусть также задано подмножество $A \subset X$. Точка $x \in X$ называется предельной точкой множества A, если для любого открытого множества $U \in \mathcal{T}$, такого что $x \in U$ и

$(U \setminus x) \cap A \not= \emptyset$.

Связанные понятия

Совокупность всех предельных точек множества A называется его произво́дным мно́жеством и обозначается A'.

Объединение самого множества A с его производным множеством A' называется замыканием множества и обозначается $\bar{A}$ или [A].

Свойства

• В метрических пространствах, если x — предельная точка A, то существует последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset A$ целиком лежащая в A такая, что $x_n \to x$ при $n \to \infty$.
  • Топологические пространства для которых выполняется это свойство называются пространства Фреше — Урысона
• Не всякая точка множества A обязана быть предельной. Обратно, предельная точка множества не обязана ему принадлежать.
• Любое бесконечное и ограниченное подмножество евклидова пространства имеет хотя бы одну предельную точку.

Лемма о предельной точке

Пусть $X \subset \mathbb{R}$ — бесконечное ограниченное подмножество числовой прямой. Тогда оно имеет хотя бы одну предельную точку, то есть $X' \neq \varnothing.$

Доказательство