Приподнятый косинус


Приподнятый косинус

Фильтр с характеристикой типа "приподнятый косинус" (ФПК) - особый электронный фильтр, часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения (МСИ). Его название происходит из факта, что ненулевая часть частотного спектра его простейшей формы (β = 1) представляет собой косинусоиду приподнятую таким образом, чтобы она "сидела" на горизонтальной оси f.

Содержание

Математическое описание

ФПК является реализацией ФНЧ Найквиста, т.е. обладает свойством частичной симметрии. Это значит, что его спектр облатает нечетной симметрией относительно \frac{1}{2T}, где T длительность символа в системе связи.

Для его описания в частотной области используется кусочная функция, заданная формулой:

H(f) = \begin{cases}
 1.0,
       & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
 \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right],
       & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\
 0,
       & \mbox{otherwise}
\end{cases}
0 \leq \beta \leq 1

и характеризуется двумя величинами; β - коэффициент сглаживания, и T - величина обратная символьной скорости.

Импульсный отклик фильтра описывается формулой:

h(t) = \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \frac{4\beta^2 t^2}{T^2}}, в выражении через нормализованные sinc функции.
АЧХ ФПК при различных коэффициентах сглаживания
Импульсный отклик ФПК при различных коэффициентах сглаживания

Коэффициент сглаживания

Коэффициент сглаживания β - мера избыточности полосы пропускания фильтра, т.е. полоса частот вне полосы Найквиста \frac{1}{2T}. Если обозначить избыточность полосы через Δf, то:

\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\Delta f

где R_S = \frac{1}{T} - символьная скорость.

На графике показана АЧХ при изменении β от 0 до 1, и соответствующее воздействие на импульсный отклик. Как видно, во временной области величина пульсаций увеличивается по мере уменьшения β. Это свидетельствует о том, что избыточность полосы фильтра может быть уменьшена, но только за счет удлиннения импульсного отклика.

β = 0

Как только β достигает 0, зона сглаживания становится максимально узкой, следовательно:

\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \mathrm{rect}(fT)

где rect(.) - прямоугольная функция, импульсный отклик преобразуется к \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right).

Следовательно, он стремится к идеальному или прямоугольному фильтру в этом случае.

β = 1

Когда β = 1, ненулевая часть спектра представляет собой чистую приподнятую косинусоиду, что ведет к упрощению:

H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
 \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right],
       & |f| \leq \frac{1}{T} \\
 0,
       & \mbox{otherwise}
\end{matrix} \right.

Полоса пропускания

Ширина полосы пропускания ФПК обычно определяется как ширина ненулевой части спектра, т.е.:

BW = \frac{1}{2}R_S(1+\beta)

Применения

Когда используется для фильтрации символьного потока, фильтр Найквиста имеет свойство устранения МСИ, т.к. его импульсный отклик равен 0 во всех nT (где n - целое), кроме n = 0.

Таким образом, если переданный сигнал корректно дискретизирован в приемнике, исходные значения символов могут быть восстановлены полностью.

Однако, в большинстве практических систем связи, согласованный фильтр должен быть использован в приемнике, это обусловлено воздействием белого шума. Это вводит следующие ограничения:

H_R(f) = H_T^*(f)

т.е.:

|H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|}

Для удовлетворения этого условия и сохраняя условие отсутствия МСИ, обычно применяется корень из ФПК на каждом из концов системы связи. В таком случае, общий отклик системы представляет собой приподнятый косинус.

Литература

  • Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
  • Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Приподнятый косинус" в других словарях:

  • Приподнятый косинус (фильтр) — Связать? …   Википедия

  • Фильтр типа приподнятый косинус — Фильтр с характеристикой типа приподнятый косинус (ФПК) особый электронный фильтр, часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения (МСИ). Его название происходит из факта, что… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.