Правило Лопиталя - Бернулли

В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и $\infty/\infty$. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка

Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий:

1. $\lim_{x\to a+}{f(x)}=\lim_{x\to a+}{g(x)}=0$ или $\infty$;
2. $\exists \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$;
3. $g'(x)\neq 0$ в проколотой окрестности a;
4. Если g(x) и f(x) — дифференцируемы в проколотой окрестности a,

тогда существует $\lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$. При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализ бесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу под примечательным названием «Усовершенствование моего опубликованного в „Анализе бесконечно малых“ метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704.

Доказательство

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида $\left(\frac{0}{0}\right)$).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку $[a,\;x]$ теорему Коши. По этой теореме получим:

$\exists c \in [a,x]\!:\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$,

но f(a) = g(a) = 0, поэтому $\forall x\, \exists c \in [a,\;x]\!:\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$.

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:

$\forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<\varepsilon)$ для конечного предела и

$\forall M > 0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > M)$ для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$.

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:

$\forall\varepsilon_{1}\, \exists \delta_{1}\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow \alpha(x)<\varepsilon_{1})$.

Зафиксируем t из отрезка $[a,\;a+\delta_1]$ и применим теорему Коши ко всем x из отрезка $[a,\;t]$:

$\forall x\in [a;t]\ \exists c\in [a;\;x]\!:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$, что можно привести к следующему виду:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)}$.

Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение $\varepsilon$, что и в определении для α:

$\forall \varepsilon_{1}\, \exists \delta_{2}\, \forall x(x-a<\delta_{2}\Rightarrow \beta(x)<\varepsilon_{1})$.

Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2}$. По любому данному $\varepsilon$ можно найти такое $\varepsilon_{1}$, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше $\varepsilon$, значит, предел отношения функций действительно равен A.

Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

$\forall M>0\, \exists \delta_{1}>0\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M)$.

В определении β будем брать $\varepsilon_{1} < \frac{1}{2}$; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда $\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty$.

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры

• $\lim_{x \to 0}\frac{x^2+5x} {3x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x+5} {3} = \frac{5} {3}=1\frac{2}{3}$

• $\lim_{x \to \infty}\frac{x^3+4x^2+7x+9} {x^3+3x^2}$
  Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Можно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае x³). В этом примере получается:

  $\lim_{x \to \infty}\frac{1+4/x+7/x^2+9/x^3} {1+3/x} = \frac{1} {1} = 1$

• $\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty$;
• $\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty$ при a > 0.

(Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0; или к $+\infty$; или к $-\infty$.)