Полюс (Комплексный анализ)

Изолированная особая точка z₀ называется полюсом f(z), если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z₀ главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, т.е.

$f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k = P(z)+f_{-n}(z-z_0)^{-n}+ \ldots + f_{-1}(z-z_0)^{-1}$, где P(z) — правильная часть ряда Лорана.

Если $f_{-n} \ne \ 0$, то z₀ называется полюсом порядка n. Если n = 1, то полюс называется простым.

Критерии определения полюса

1. Точка z₀ является полюсом тогда, и только тогда, когда $\lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty$.
2. Точка z₀ является полюсом порядка k тогда и только тогда, когда $\lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty$, а $\lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^k \ne \infty$
3. Точка z₀ является полюсом порядка k тогда и только тогда, когда она является для функции $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ нулем порядка k

См. также

• Нуль (комплексный анализ)