Положительное число


Положительное число

Отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем нуль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n, которое дополняет n до нуля: n + ( − n) = 0. Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a равносильно сложению с противоположным для него: -a.

Содержание

Свойства отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.

  1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
  2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
  3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на -2, мы получаем: -6 > −10.
  4. При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком: -24 = 5 \cdot (-5) + 1 =  5 \cdot (-4) - 4 .

Исторический очерк

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены.

Диофант в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные значения.

Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математики Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Даже Паскаль считал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Положительное число" в других словарях:

  • ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО — число большее нуля …   Большой Энциклопедический словарь

  • положительное число — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN positive number …   Справочник технического переводчика

  • положительное число — число, большее нуля. * * * ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, число большее нуля …   Энциклопедический словарь

  • ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО — число, большее нуля …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Число двойной точности — (Double precision, Double) компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти две последовательных ячейки (компьютерных слова; в случае 32 битного компьютера 64 бита или 8 байт). Как правило, обозначает формат числа с плавающей запятой… …   Википедия

  • Число половинной точности — (англ. half precision)  компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину компьютерного слова (в случае 32 битного компьютера  16 бит или 2 байта). Диапазон значений ± 2−24(5.96E 8)  65504. Приблизительная… …   Википедия

  • Число с плавающей запятой — Число с плавающей запятой  форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную.… …   Википедия

  • число — сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах   математика 1. Числом… …   Толковый словарь Дмитриева

  • ЧИСЛО — ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… …   Толковый словарь Ожегова

  • Число E — e математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.