Полный ранг

Пусть задана любая матрица А с m строк и n столбцов. Рангом системы строк (столбцов) матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк(столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно-независимыми, если не одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов и это число называется рангом матрицы. Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Обычно ранг матрицы A обозначается $\operatorname{rang}A$ ($\operatorname{rg}A$) или $\operatorname{rank}A$. Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Определение

Пусть $A_{m\times n}$ — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

• нуль, если A — нулевая матрица;
• число $r\in\mathbb{N}:\;\exist M_r\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0$, где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_{r + 1} — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы $A_{m\times n}$ порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда $\forall M_{k+1}=0$, если они существуют.

Связанные определения

• Ранг $\operatorname{rang}M$ матрицы M размера $m \times n$ называют полным, если $\operatorname{rang}M = \min\{m, n\}$.
• Базисный минор матрицы A — любой минор матрицы A порядка r, где $r=\operatorname{rang}A$.
  • Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Пример

Матрица

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 & 4 \\ 2 & 3 & -4 & 6 \\ -4 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -6 & 10 \end{pmatrix}$

имеет ранг 2, так как есть минор второго порядка, отличный от нуля, а миноров третьего порядка нет.

Свойства

• Теорема (о базисном миноре): Пусть $r=\operatorname{rang}A,M_r$ — базисный минор матрицы A, тогда:
  1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
  2. любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
     
• Следствия:
  • Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
  • Если A — квадратная матрица, и $\det A=0\iff$ строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
  • Пусть $r=\operatorname{rang}A$, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
• Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение $A\sim B$ для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если $A\sim B$, то их ранги равны
• Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
  • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
  • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

См. также

Ссылки

• Расчет ранга матрицы онлайн
• Здесь можно вычислить ранг матрицы (с подробным отображением хода вычисления)