Полное пространство

Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство $X=(X,\rho)$ можно вложить в полное пространство $Y$ таким образом, что метрика $Y$ продолжает метрику $X$, а подпространство $X$ всюду плотно в $Y$. Такое пространство $Y$ называется пополнением $X$ и обычно обозначается $\bar X$.

Построение

Для метрического пространства $X=(X,\rho)$, на множестве фундаментальных последовательностей в $X$ можно ввести отношение эквивалентности

$(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.$

Множество классов эквивалентности $\bar X$ с метрикой, определённой

$\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),$

является метрическим пространством. Само пространство $(X,\rho)$ изометрически вкладывается в него следующим образом: точке $x\in X$ соответствует класс постоянной последовательности $x_n=x$. Получившееся пространство $(\bar X,\bar \rho)$ и будет пополнением $X$.

Свойства

• Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
• Пополнение метрического $M$ пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
• Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
• Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
• Критерий компактности метрического пространства: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
• Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.

Примеры

Полные пространства

• $\mathbb{R}$ — пример полного числового метрического пространства, в смысле стандартной метрики, введённой на множестве вещественных (действительных чисел). Критерий полноты метрического пространства в случае $\mathbb{R}$ носит особое название .
• Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
• Любое банахово пространство, в частности гильбертово пространство, полно по определению.

1. В частности, полным является банахово пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой.

Неполные пространства

• Рациональные числа $\mathbb{Q}$ со стандартным расстоянием $d(x,y)=|x-y|$ являются неполным метрического пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел $\mathbb{R}$.
• Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел $\mathbb Q_p$.
• Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

• Если $X$ имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Литература

• Зорич В.А. "Математический анализ", т.2, гл.IX, §5.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.