Поле (алгебраич.)


Поле (алгебраич.)

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями + (аддитивная операция или сложение) и \cdot (мультипликативная операция или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей 1 \neq 0, все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями + (сложение) и \cdot (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

Содержание

Связанные определения

  • Характеристика поля — наименьшее положительное целое n число такое, что сумма n копий единицы равна нулю:
        n\cdot 1=0
    Если такого числа не существует то характеристика равна 0 по определению.
  • Подполем поля k называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в k.
  • Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.

Свойства

  • Характеристика поля всегда 0 или простое число.
    • Поле характеристики 0 содержит подполе изоморфное полю рациональных чисел \mathbb Q.
    • Поле простой характеристики p содержит подполе изоморфное полю вычетов \Z_p .
  • Количество элементов в конечном поле всегда равно pn, степени простого числа.
    • При этом для любого числа вида pn существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из pn элементов, обычно обозначаемое \mathbb{F}_{p^n}.
  • Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.
  • В поле нет делителей нуля.

Примеры

См.также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Поле (алгебраич.)" в других словарях:

  • Поле (алгебраич.) — Поле алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия… …   Большая советская энциклопедия

  • ПОЛЕ — коммутативно ассоциативное кольцо с единицей, множество ненулевых элементов к рого не пусто и образует группу относительно умножения. П. можно охарактеризовать также как простые ненулевые коммутативно ассоциативные кольца с единицей. Примеры… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛЕ РАЗЛОЖЕНИЯ — многочлена наименьшее поле, содержащее все корни данного многочлена. Точнее, расширение Lполя Кназ. полем разложения многочлена f над полем К, если f разлагается над полем Lна линейные множители: и L=K(a1, . . .,an).(см. Расширение поля). П. р.… …   Математическая энциклопедия

  • НЕАБЕЛЕВО ЧИСЛОВОЕ ПОЛЕ — поле алгебраич. чисел, имеющее неабелеву Галуа группу над полем рациональных чисел , или же поле, не являющееся нормальным над . Иногда вместо рассматривается нек рое другое основное поле калгебраич. чисел п термин неабелевость понимается как… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ — поле А:, в к ром всякий многочлен ненулевой степени над kимеет хотя бы один корень. В действительности, из алгебраич. замкнутости поля будет следовать, что каждый многочлен степени пнад kимеет в kровно пкорней, т. е. каждый неприводимый многочлен …   Математическая энциклопедия

  • СОВЕРШЕННОЕ ПОЛЕ — поле k, любой многочлен над к рым сепарабелен. Иначе говоря, любое алгебраич. расширение поля k сепарабельное расширение. Все остальные поля наз. несовершенными. Все поля характеристики 0 совершенны. Поле kконечной характеристики рсовершенно… …   Математическая энциклопедия

  • КРУГОВОЕ ПОЛЕ — поле деления круг а, поле получающееся присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня из единицы степени га, где п некоторое натуральное число. Иногда (локальным) круговым полем наз. также поле вида где поле рациональных р… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ПОЛЕ — конечное поле, поле, число элементов к рого конечно. Г. п. впервые рассматривалось Э. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 47). Число элементов любого Г. п. есть степень нек рого натурального простого числа , являющегося характеристикой этого поля.… …   Математическая энциклопедия

  • УПОРЯДОЧЕННОЕ ПОЛЕ — линейно упорядоченное кольцо, являющееся полем. Классич. пример поле действительных чисел с обычным порядком. Напротив, поле комплексных чисел не может быть превращено в У. п., поскольку поле допускает порядок, превращающий его в У. п., тогда и… …   Математическая энциклопедия

  • ЯНГА-МИЛЛСА ПОЛЕ — связность в главном расслоении над (псевдо) римановым многообразием, кривизна к рой удовлетворяет условию гармоничности (уравнению Янга Миллса). Я. М. п., наз. также калибровочными полями, используются в современной физике для описания физич.… …   Математическая энциклопедия