Группа Ли

Группа Ли
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Группой Ли над полем K (K=\R или \mathbb C) называется группа G, снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над K, причём отображения \operatorname{mul} и \operatorname{inv}, определённые так:

\operatorname{mul}\colon G\times G \rightarrow G;\ \operatorname{mul}\,(x, y) = xy,
\operatorname{inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operatorname{inv}\,x=x^{-1}

являются гладкими (в случае поля \mathbb C требуют голоморфности введённых отображений).

Всякая комплексная n-мерная группа Ли является вещественной группой Ли размерности 2n. Всякая комплексная группа Ли по определению является аналитическим многообразием, но и в вещественном случае на любой группе Ли существует аналитический атлас, в котором отображения \operatorname{mul} и \operatorname{inv} записываются аналитическими функциями.

Названы в честь Софуса Ли. Группы Ли естественно возникают при рассмотрении непрерывных симметрий. Например, движения плоскости образуют группу Ли. Группы Ли являются в смысле богатства структуры лучшими из многообразий и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, физике и математическом анализе.

Содержание

Типы групп Ли

Группы Ли классифицируются по своим алгебраическим свойствам (простоте, полупростоте, разрешимости, нильпотентности, абелевости), а также по топологическим свойствам (связности, односвязности и компактности).

Подгруппы Ли

Подгруппа H группы Ли G называется её подгруппой Ли, если она является подмногообразием в многообразии G, то есть найдётся m>0, такое, что H задаётся в окрестности каждой своей точки p системой из k функций, имеющей в p ранг m. Не всякая подгруппа является подгруппой Ли: например, подгруппа пар вида (e^{ix}, e^{i\pi x}) в торе \{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in\R\} не является подгруппой Ли (она дает всюду плотную обмотку тора). Подгруппа Ли всегда замкнута. В вещественном случае верно и обратное: замкнутая подгруппа является подгруппой Ли. В комплексном случае это не так: бывают вещественные подгруппы Ли комплексной группы Ли, имеющие нечетную размерность, например, унитарные матрицы в группе обратимых комплексных матриц 2\times 2.

Пусть H — подгруппа Ли группы Ли G. Множество G/H смежных классов (безразлично, левых или правых) можно единственным образом наделить структурой дифференцируемого многообразия так, чтобы каноническая проекция была дифференцируемым отображением. При этом получится локально тривиальное расслоение, и если Hнормальная подгруппа, то факторгруппа будет группой Ли.

Гомоморфизмы и изоморфизмы

Пусть G и H — группы Ли над одним и тем же полем. Гомоморфизмом групп Ли называется отображение f\colon G\to H, являющееся гомоморфизмом групп и одновременно аналитическим отображением многообразий. (Можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности f.) Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют категории \operatorname{Lie}_\R и \operatorname{Lie}_\C. Гомоморфизм групп Ли называется изоморфизмом, если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными. Как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли SO(2) поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли U(1) комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения, являются изоморфными.

Пример иррациональной обмотки тора показывает, что образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой Ли. Однако прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме всегда является подгруппой Ли.

Гомоморфизм группы Ли G над полем K в группу GL(V) невырожденных линейных преобразований векторного пространства V над полем K называется представлением группы G в пространстве V.

Действия групп Ли

Группы Ли часто выступают как симметрии какой-либо структуры на некотором многообразии, а потому естественно, что изучение действий групп Ли на различных многообразиях является важным разделом теории. Говорят, что группа Ли G действует на гладком многообразии M, если задан гомоморфизм групп a: GDiff M, где Diff M — группа диффеоморфизмов M. Таким образом, каждому элементу g группы G должно соответствовать диффеоморфное преобразование ag многообразия M, причём произведению элементов и взятию обратного элемента отвечают соответственно композиция диффеоморфизмов и обратный диффеоморфизм. Если из контекста ясно, о каком действии идёт речь, то образ ag(m) точки m при диффеоморфизме, определяемом элементом g, обозначается просто gm.

Группа Ли естественно действует на себе левыми и правыми сдвигами, а также сопряжениями. Эти действия традиционно обозначаются l, r и a:

lg(h) = gh,
rg(h) = hg,
ag(h) = ghg−1.

Другим примером действия является действие группы Ли G на множестве смежных классов этой группы по какой-нибудь подгруппе Ли NG:

g (hN) = (gh)N,

Действие группы Ли G на дифференцируемом многообразии M называется транзитивным, если любую точку M можно перевести в любую другую посредством действия некоторого элемента G. Многообразие, на котором задано транзитивное действие группы Ли. называется однородным пространством этой группы. Однородные пространства играют важную роль во многих разделах геометрии. Однородное пространство группы G диффеоморфно G / st x, где st xстабилизатор произвольной точки.

Алгебра Ли группы Ли

Со всякой группой Ли можно связать некоторую алгебру Ли, которая полностью отражает локальную структуру группы, во всяком случае, если группа Ли связна.

Векторное поле на группе Ли G называется левоинвариантным, если оно коммутирует с левыми сдвигами, то есть

V(lg* f) = lg* (Vf) для всех g из G, и любой дифференцируемой функции f.

Эквивалентно,

dlg (Vx) = Vgx для всех x, g из G.

Очевидно, любое левоинвариантное векторное поле V на группе Ли полностью определяется своим значением Ve в единице. Наоборот, задав произвольный вектор V в касательном пространстве Ge к единице, можно разнести его левыми сдвигами по всей группе. Получается взаимно однозначное соответствие между касательным пространством к группе в единице и пространством левоинвариантных векторных полей.

Скобка Ли [X,Y] левоинвариантных векторных полей будет левоинвариантным векторным полем. Поэтому Ge является алгеброй Ли. Эта алгебра называется алгеброй Ли группы G. Обычно она обозначается соответствующей малой готической буквой.

См. также

Литература

  • Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
  • Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. М.: ВИНИТИ. 1988
  • Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979
  • Бурбаки Н. Группы и Алгебры Ли. — М.: Мир, 1986. — 174 с.

Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld - "Мир математических уравнений":


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Группа Ли" в других словарях:

  • ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… …   Физическая энциклопедия

  • группа — ы, ж. groupe m., нем. Gruppe <, ит. gruppo. 1. иск. Несколько фигур (лиц, предметов), составляющих композиционно единое целое. Сл. 18. Посредине ниш в которой группа ввиде великолепной женщины стремя гениями. 1765. МАХ 102. Мирон работник… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • группа — ограниченная в размерах общность людей, выделяемая из социального целого на основе определенных признаков (характера выполняемой деятельности, социальной или классовой принадлежности, структуры, композиции, уровня развития и т. д.). Наиболее… …   Большая психологическая энциклопедия

  • ГРУППА — (фр. grouppe, от итал. groppo). Соединение нескольких предметов как бы в одно целое. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГРУППА собрание предметов или идей, находящихся между собой в известной связи.… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Группа 77 — Group of 77 Groupe des 77 Grupo de los 77 مجموعة ال77 …   Википедия

  • группа — См. разряд... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. группа (товарищей); группирование, группировка, групповуха, категория, пучок, ряд, комплект, совокупность, число, серия,… …   Словарь синонимов

  • ГРУППА — ГРУППА, группы, жен. (нем. Gruppe). 1. Несколько предметов или людей, находящихся поблизости друг к другу. Группа островов. Группа деревьев. Рабочие расходились группами. 2. Совокупность лиц, объединенных общностью идеологии (научной,… …   Толковый словарь Ушакова

  • Группа ПГ — Группа «ПГ»  творческое объединение, образовалась в 2000 году. В нее входило и с ней сотрудничало множество художников, музыкантов и литераторов. Объединение издавало журнал своего имени, участвовало во многих выставках, в том числе и в известных …   Википедия

  • Группа 47 — (нем.  Gruppe 47)  объединение немецкоязычных авторов, организованное немецким писателем Хансом Вернером Рихтером (Hans Werner Richter) и активно действовавшее на протяжении двадцати лет (1947 1967). Наиболее известная литературная… …   Википедия

  • ГРУППА — в полосатых купальниках. Жарг. шк. Шутл. Ученики на уроке физкультуры. (Запись 2002 г.) /em> Первоначально: о тиграх в кинофильме «Полосатый рейс». Группа геморрой. Жарг. мол. Шутл. Самодеятельная группа музыкантов, играющая в метро, на улице и… …   Большой словарь русских поговорок


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»