Плоскость (в математике)

Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А. К. Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816—1818), нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Некоторые характеристические свойства плоскости

• Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
• Плоскость — множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Аналогично отрезку и интервалу, плоскость не включающую крайние точки можно назвать интервальной плоскостью или открытой плоскостью.

Уравнения плоскоcти

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

$Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)$

где A,B,C и D — постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:

$(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0$

где $\mathbf{r}$ — радиус-вектор точки M(x,y,z), вектор $\mathbf{N}=(A,B,C)$ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора $\mathbf{N}$:

$\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

$\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен нулю, уравнение называется неполным. При D = 0 П. проходит через начало координат, при A = 0 (или B = 0, C = 0) П. параллельна оси Ox (соответствённо Oy или Oz). При A = B = 0 (A = C = 0, или B = C = 0) П. параллельна плоскости Oxy (соответственно Oxz или Oyz).

• Уравнение плоскости в отрезках:

$\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,$

где a = − D / A,b = − D / B,c = − D / C — отрезки, отсекаемые П. на осях Ox,Oy и Oz.

• Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно вектору нормали $\mathbf{N}(A,B,C)$:

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0;

в векторной форме:

$((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.$

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(x_i,y_i,z_i), не лежащие на одной прямой:

$((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0$

(смешанное произведение векторов), иначе

$\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.$

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

$x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)$

в векторной форме:

$(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,$

где $\mathbf{N^0}$- единичный вектор, p — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

$\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

(знаки μ и D противоположны).

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Отклонение точки M₁(x₁,y₁,z₁) от плоскости заданной нормированным уравнением (2)

δ = x₁cosα + y₁cosβ + z₁cosγ − p;

δ > 0,если M_i и начало координат лежат по разные стoроны плоскости, в противоположном случае δ < 0. Расстояние от точки до плоскости равно | δ | .

• Расстояние ρ от точки M₀(x₀,y₀,z₀), до плоскости, заданной уравнением ax + by + cz + d = 0, вычисляется по формуле:
  

$\rho = \frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Расстояние между параллельными плоскостями

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями Ax + By + Cz + D₁ и Ax + By + Cz + D₂:

$d=\frac{\mid D_2-D_1\mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями $\bar n (\bar r - \bar{r_1})=0$ и $\bar n (\bar r - \bar{r_2})=0$:

$d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}$

Связанные понятия

• Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

$\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};$

Если в векторной форме, то

$\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.$

• Плоскости параллельны, если

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ или $[\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0.$

• Плоскости перпендикулярны, если

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0 или $(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0$.

• Пучок плоскостей — уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плокостей

α(A₁x + B₁y + C₁z) + β(A₂x + B₂y + C₂z) = 0,

где α и β — любые числа, не равные одновременно нулю.

Плоскости в четырёхмерном пространстве

Если в четырёхмерном пространстве две плоскости лежат в одной гиперплоскости, то они могут либо быть параллельными (в частности, совпадать), либо пересекаться по линии.

Если же две плоскости не лежат в одной гиперплоскости, то они либо не пересекаются (скрещиваются, подобно тому как в трёхмерном пространстве скрещиваются прямые), либо имеют ровно одну общую точку.

Пересечение двух плоскостей в точке (а не по линии, как в трёхмерном пространстве) можно проиллюстрировать следующим примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Пусть две плоскости α и β проходят через начало координат, причём плоскость α содержит координатные прямые x и y, а плоскость β содержит координатные прямые z и t. Соответственно у всех точек плоскости α координаты z и t равны 0, а у всех точек плоскости β координаты x и y равны 0. Тогда очевидно, что единственная точка, которая может принадлежать обеим плоскостям — это точка (0,0,0,0).

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.