Плоскость (в математике)


Плоскость (в математике)
Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А. К. Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (18161818), нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Содержание

Некоторые характеристические свойства плоскости

  • Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
  • Плоскость — множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Аналогично отрезку и интервалу, плоскость не включающую крайние точки можно назвать интервальной плоскостью или открытой плоскостью.

Уравнения плоскоcти

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости
Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

где A,B,C и D — постоянные, причём A,B и C одновременно не равны нулю; в векторной форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0

где \mathbf{r} — радиус-вектор точки M(x,y,z), вектор \mathbf{N}=(A,B,C) перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора \mathbf{N}:

\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен нулю, уравнение называется неполным. При D = 0 П. проходит через начало координат, при A = 0 (или B = 0, C = 0) П. параллельна оси Ox (соответствённо Oy или Oz). При A = B = 0 (A = C = 0, или B = C = 0) П. параллельна плоскости Oxy (соответственно Oxz или Oyz).

  • Уравнение плоскости в отрезках:
\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,

где a = − D / A,b = − D / B,c = − D / C — отрезки, отсекаемые П. на осях Ox,Oy и Oz.

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору нормали \mathbf{N}(A,B,C):
A(xx0) + B(yy0) + C(zz0) = 0;

в векторной форме:

((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.
  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M(xi,yi,zi), не лежащие на одной прямой:
((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0

(смешанное произведение векторов), иначе

\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.
  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)

в векторной форме:

(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,

где \mathbf{N^0}- единичный вектор, p — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

(знаки μ и D противоположны).

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

  • Отклонение точки M1(x1,y1,z1) от плоскости заданной нормированным уравнением (2)
δ = x1cosα + y1cosβ + z1cosγ − p;
δ > 0,если Mi и начало координат лежат по разные стoроны плоскости, в противоположном случае δ < 0. Расстояние от точки до плоскости равно | δ | .
  • Расстояние ρ от точки M0(x0,y0,z0), до плоскости, заданной уравнением ax + by + cz + d = 0, вычисляется по формуле:
\rho = \frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Расстояние между параллельными плоскостями

  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями Ax + By + Cz + D1 и Ax + By + Cz + D2:
d=\frac{\mid D_2-D_1\mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями \bar n (\bar r - \bar{r_1})=0 и \bar n (\bar r - \bar{r_2})=0:
d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}

Связанные понятия

  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};

Если в векторной форме, то

\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}{|\mathbf{N_1}||\mathbf{N_2}|}.
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} или [\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0.
  • Плоскости перпендикулярны, если
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 или (\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0.
  • Пучок плоскостей — уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плокостей
α(A1x + B1y + C1z) + β(A2x + B2y + C2z) = 0,

где α и β — любые числа, не равные одновременно нулю.

Плоскости в четырёхмерном пространстве

Если в четырёхмерном пространстве две плоскости лежат в одной гиперплоскости, то они могут либо быть параллельными (в частности, совпадать), либо пересекаться по линии.

Если же две плоскости не лежат в одной гиперплоскости, то они либо не пересекаются (скрещиваются, подобно тому как в трёхмерном пространстве скрещиваются прямые), либо имеют ровно одну общую точку.

Пересечение двух плоскостей в точке (а не по линии, как в трёхмерном пространстве) можно проиллюстрировать следующим примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Пусть две плоскости α и β проходят через начало координат, причём плоскость α содержит координатные прямые x и y, а плоскость β содержит координатные прямые z и t. Соответственно у всех точек плоскости α координаты z и t равны 0, а у всех точек плоскости β координаты x и y равны 0. Тогда очевидно, что единственная точка, которая может принадлежать обеим плоскостям — это точка (0,0,0,0).

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Плоскость (в математике)" в других словарях:

  • ПЛОСКОСТЬ — ПЛОСКОСТЬ, в математике плоская поверхность, такая, что любая прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит этой поверхности. Общее уравнение плоскости в трехмерной декартовой системе координат выглядит как ах+by+cz=d, где а, b, с и d… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Плоскость Минковского — В математике, плоскость Минковскогоe двумерное аффинное пространство снабжённое метрикой которая инвариантна относительно параллельных переносов. Названа в честь Минковского. Часто данное аффинное пространство ототожествляют с плоскостью R2.… …   Википедия

  • Плоскость Лобачевского — Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на… …   Википедия

  • Фокус (в математике) — Конические сечения: окружность, эллипс, парабола (плоскость сечения параллельна образующей конуса), гипербола. Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс,… …   Википедия

  • соприкасающаяся плоскость — в точке M кривой l, плоскость, имеющая с l в точке М касание порядка п≥2. См. Соприкосновение,Кручение. * * * СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ в точке M кривой l, плоскость, имеющая с l в точке M касание порядка nі2. См.… …   Энциклопедический словарь

  • Симметрия (в математике) — Симметрия (от греч. symmetria ‒ соразмерность) в математике, 1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой а на плоскости), ‒ преобразование пространства (плоскости), при… …   Большая советская энциклопедия

  • Расстояние в математике — Метрическим пространством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов. Содержание 1 Формальное определение 2 Обозначения 3 Примеры …   Википедия

  • Координаты в математике — величины, определяющие положение точки. В Декартовых прямоугольных К. положение точки определяется тремя расстояниями ее от трех взаимно перпендикулярных плоскостей; пересечения этих плоскостей представляют собой три прямые, выходящие из одной… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Координаты, в математике — величины, определяющие положение точки. В Декартовых прямоугольных К. положение точки определяется тремя расстояниями ее от трех взаимно перпендикулярных плоскостей; пересечения этих плоскостей представляют собой три прямые, выходящие из одной… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Евклидова плоскость — В математике термин евклидово пространство может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: В обоих случаях, n мерное евклидово пространство обычно обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение . 1.… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Плоскость (в математике)» >>