Первая проблема Гильберта

Первая проблема Гильберта

В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом:

Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Давид Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Курт Гёдель доказал в расширенной теории, полученной присоединением к системе аксиом Цермело — Френкеля (ZFC) аксиомы о непротиворечивости ZFC, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC; а в 1963 году американский математик Пол Коэн доказал в той же теории, что континуум-гипотеза недоказуема в ZFC. Таким образом, континуум-гипотеза не зависит от аксиом ZFC. Вопрос о независимости континуум-гипотезы от аксиом использовавшейся Гёделем и Коэном расширенной теории остается открытым.

Разделение по отрицанию или подтверждению континуум-гипотезы привело к созданию так называемой канторовской теории множеств, которая считает, что мощность множества вещественных чисел или континуума \mathbf{c}=2^{\aleph_0} равна \aleph_1 и неканторовской теории множеств, в которой это неверно. В последнем случае можно доказать, что между c и \aleph_1 заключено бесконечно много кардинальных чисел.

Вариации и обобщения

Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что для любого бесконечного множества S не существует таких множеств, кардинальное число которых больше, чем у S, но меньше, чем у множества всех его подмножеств 2S.

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело-Френкеля, и, как показали Вацлав Серпинский в 1947 г. и Шпеккер в 1952 г., из неё следует аксиома выбора.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Первая проблема Гильберта" в других словарях:

  • Двадцать первая проблема Гильберта — (также называемая проблемой Римана Гильберта) одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Решена (построением контрпримера) в 1989 году А. А. Болибрухом[1]; до этого… …   Википедия

  • Шестнадцатая проблема Гильберта — Шестнадцатая проблема Гильберта  одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Исходно, проблема называлась «Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей»… …   Википедия

  • ГИЛЬБЕРТА ТЕОРИЯ — 1) Г. т. о базисе: если А коммутативное нётерово кольцо и кольцо многочленов от с коэффициентами в А, то и нётерово кольцо. В частности, в кольце многочленов от конечного числа переменных над полем или над кольцом целых чисел любой идеал… …   Математическая энциклопедия

  • Проблемы Гильберта — Проблемы Гильберта  список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию… …   Википедия

  • Фуксова особая точка — В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это  простейшая возможная особенность… …   Википедия

  • Континуум-гипотеза — В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую континуум гипотезу, которую можно сформулировать следующим образом: Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.… …   Википедия

  • Мощность множества — Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinalis ← cardo  главное обстоятельство, стержень, сердцевина)  характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного… …   Википедия

  • Кардинальность — Мощность множества или кардинальное число множества это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них… …   Википедия

  • Равномощность — Мощность множества или кардинальное число множества это обобщение понятия количества (числа элементов множества), которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Существуют большие, есть меньшие бесконечные множества, среди них… …   Википедия

  • 21 (число) — 21 двадцать один 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24 Факторизация: 3×7 Римская запись: XXI Двоичное: 10101 Восьмеричное: 25 Шестнадцатеричное: 15 На …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»