Неравенство Бернулли

Нера́венство Берну́лли утверждает: если $x \geq -1$, то

$(1+x)^n\geq 1 + nx$ для всех $n\in\mathbb{N}_0.$

Доказательство

Доказательство неравенства $\forall n\in\mathbb{N}_0$ проводится методом математической индукции по n. При n = 0 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

$(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx) \geq (1+nx)+x = 1+(n+1)x$,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает, что при $x > - 1 \!\$ и $n\in\mathbb{R}$:

• если $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$, то $(1+x)^n\geq 1 + nx$
• если $n\in(0;1) \!\$, то $(1+x)^n\leq 1+nx$
• при этом равенство достигается в двух случаях: $\left[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=-1 \end{matrix}\right.$

Доказательство  

Рассмотрим $f(x)=(1+x)^n-nx \!\$, причем $x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\$.
Производная $f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\$ при $x=x_0=0 \!\$, поскольку $n \neq 0 \!\$.
Функция $f \!\$ дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки $x_0 \!\$. Поэтому $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\$. Получаем:

• $f''(x)>0 \!\$ ⇒ $f(x) \geq f(x_0) \!\$ при $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$
• $f''(x)<0 \!\$ ⇒ $f(x) \leq f(x_0) \!\$ при $n\in(0;1) \!\$

Значение функции $f(x_0)=1 \!\$, следовательно, справедливы следующие утверждения:

• если $n\in(-\infty ;0)\cup[1;+\infty )$, то $(1+x)^n\geq 1 + nx$
• если $n\in(0;1] \!\$, то $(1+x)^n\leq 1+nx$

Несложно заметить, что при соответствующих значениях $x_0=0 \!\$ или $n=0, n=1 \!\$ функция $f(x)=f(x_0) \!\$. При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на $n \!\$, заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство. ■

Примечания

• Неравенство также справедливо для $x\geq -2$ (при $n\in\mathbb{N}_0$), но указанное выше доказательство по индукции в случае $x\in\left[-2,-1\right)$ не работает.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.