Раскрытие неопределённостей


Раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

\infty-\infty   \frac{\infty}{\infty}     \frac{0}{0}     ~0^0     1^\infty     \infty^0   0\cdot\infty

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов ~0^0, 1^\infty, \infty^0 пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

~0^0=e^{0\cdot ln{0}}=e^{0\cdot\infty}
~1^\infty=e^{\infty\cdot ln{1}}=e^{\infty\cdot 0}
~\infty^0=e^{0\cdot ln{\infty}}=e^{0\cdot\infty}

Для раскрытия неопределённостей типа \frac{\infty}{\infty} используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа \frac{0}{0} существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа \infty-\infty иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть f(x) \xrightarrow{x\to a} \infty и g(x) \xrightarrow{x\to a} \infty
 \lim_{x \to a} [f(x)-g(x)]=[\infty-\infty] = \lim_{x \to a} \left ( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}- \frac{1}{\frac{1}{g(x)}}\right )=
\lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)}\cdot\frac{1}{f(x)}}=\left [ \frac{0}{0} \right ]

Пример


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Раскрытие неопределённостей" в других словарях:

  • Раскрытие неопределенностей — Раскрытие неопределённостей  методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа , , 0 / 0, 00 …   Википедия

  • Неопределённости пределов — Раскрытие неопределённостей  методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа , , 0 / 0, 00 …   Википедия

  • Неопределённость (математика) — Раскрытие неопределённостей  методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа , , 0 / 0, 00 …   Википедия

  • Неопределённость (значения) — Неопределённость  отсутствие или недостаток определения чего либо. Этот термин имеет несколько специализированных значений: Соотношение неопределённостей Гейзенберга в квантовой физике. Раскрытие неопределённостей в математическом анализе.… …   Википедия

  • Неопределённость — Неопределённость  отсутствие или недостаток определения или информации о чём либо. Неопределённость может проявляться в разных областях: Неопределённость измерений (погрешность) в метрологии. Принцип неопределённости Гейзенберга в квантовой… …   Википедия

  • Неопределенности пределов — Раскрытие неопределённостей  методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа , , 0 / 0, 00 …   Википедия

  • Деление (математика) — Запрос «Деление» перенаправляется сюда; для просмотра других значений см. Деление. Деление (операция деле …   Википедия

  • Делимое — Деление (операция деления) это одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению. Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание. Рассмотрим,… …   Википедия

  • Показательная функция — Показательная функция  математическая функция , где называется основанием степени, а   показателем степени. В вещественном случае основание степени   некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом… …   Википедия

  • Изабелла Французская — Isabelle de France …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.