Функции Бесселя


Функции Бесселя

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,

где \alpha — произвольное вещественное число, называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя \alpha и (-\alpha) порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по \alpha).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Содержание

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

  • электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
  • теплопроводность в цилиндрических объектах;
  • формы колебания тонкой круглой мембраны
  • распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.
  • скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
  • волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми J_\alpha(x), являются решения, конечные в точке x=0 при целых или неотрицательных \alpha. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых \alpha):

 J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}

Здесь \Gamma(z) — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально \frac{1}{\sqrt{x}}, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики J_\alpha (x) для \alpha = 0, 1, 2:

График функции Бесселя первого рода J

Если \alpha не является целым числом, функции J_\alpha (x) и J_{-\alpha} (x) линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если \alpha целое, то верно следующее соотношение:

J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений \alpha, используя интегральное представление:

J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\,d\tau

Функции Неймана

Функции Неймана — решения Y_\alpha(x) уравнения Бесселя, бесконечные в точке x=0.

Эта функция связана с J_\alpha(x) следующим соотношением:

Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},

где в случае целого \alpha берётся предел по \alpha, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

y(x) = C_1 J_\alpha(x) + C_2 Y_\alpha(x).

Ниже приведён график Y_\alpha (x) для \alpha = 0, 1, 2:

График функции Бесселя второго рода N

Свойства

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах (0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}) и неотрицательных \alpha они выглядят так:[1]

J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha
Y_\alpha(x) \rightarrow  \left\{ \begin{matrix}
  \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right]  & \mbox{;}\quad\alpha=0 \\ \\
  -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{;}\quad\alpha > 0 
\end{matrix} \right.,

где \gamma — постоянная Эйлера — Маскерони (0.5772…), а \Gamma — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов (x \gg |\alpha^2 - 1/4|) формулы выглядят так:

J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)
Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).

Таким образом, при целых \alpha функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

e^{\frac{z}{2}\left(w-\frac{1}{w}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(z)w^n

Соотношения

Формула Якоби — Аигера и связанные с ней

Получается выражения для производящей при a=1, t=e^{i\phi}:[2]

e^{iz\sin\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty J_{2n}(z)\cos(2n\phi)+2i\sum_{n=1}^\infty J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi.

При a=1, t=ie^{i\phi}:[2]

e^{iz\cos\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty i^nJ_n(z)\cos(n\phi).

Теорема сложения

Для любого целого n и комплексных z_1, z_2 выполняется[3]

J_n(z_1+z_2) = \sum_{k=-\infty}^\infty J_k(z_1) J_{n-k}(z_2).

Интегральные выражения

Для любых a и b (в том числе комплексных) выполняется[3]

\int_0^\infty e^{-at}J_n(bt)\mathrm dt = \frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a)^n}.

Частным случаем последней формулы является выражение

\int_0^\infty e^{-at}J_0(bt)\mathrm dt = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}.

См. также

Примечания

  1. Arfken, George B. and Hans J. Weber Mathematical Methods for Physicists. — 6th edition. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0
  2. 1 2 Бейтмен, Эрдейи, 1974, с. 15
  3. 1 2 Лаврентьев, Шабат, 1974, с. 15

Литература

  • Ватсон Г. Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949. — Т. 1, 2.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — 2-е. — м.: Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Функции Бесселя" в других словарях:

  • Модифицированные функции Бесселя — Модифицированные функции Бесселя  это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента. Если в дифференциальном уравненни Бесселя заменить на , оно примет вид Это уравнение называется модифицированным уравнением Бессел …   Википедия

  • Бесселя функции — Функции Бесселя в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где α  произвольное действительное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • БЕССЕЛЯ УРАВНЕНИЕ — специального вида дифференциальное уравнение, к которому приводят многие физические и технические задачи в цилиндрических координатах. Решения Бесселя уравнения называются цилиндрическими функциями, частный случай которых функции Бесселя …   Большой Энциклопедический словарь

  • Функции Ганкеля — (Ханкеля) (Функции Бесселя третьего рода) это линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ганкеля. функция Ганкеля первого рода; функция… …   Википедия

  • БЕССЕЛЯ УРАВНЕНИЕ — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка: илц в самосопряженной форме: Число v наз. индексом Б. у.; величины в общем случае могут принимать комплексные значения. После подстановки получается приведенная форма уравнения (1): Б …   Математическая энциклопедия

  • Бесселя функции —         Цилиндрические функции 1 го рода; возникают при рассмотрении физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний и пр.) в областях с круговой и цилиндрической симметрией; являются решениями Бесселя уравнения (См. Бесселя… …   Большая советская энциклопедия

  • Бесселя уравнение — специального вида дифференциальное уравнение, к которому приводят многие физические и технические задачи в цилиндрических координатах. Решения уравнения Бесселя называют цилиндрическими функциями, частные случаи которых  функции Бесселя. * * *… …   Энциклопедический словарь

  • БЕССЕЛЯ УРАВНЕНИЕ — спец. вида дифференц. ур ние, к к рому приводят мн. физ. и техн. задачи в цилиндрич. координатах. Решения Б. у. наз. цилиндрич. функциями, частные случаи к рых функции Бесселя. Названо по имени Ф. Бесселя …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ — цилиндрические функции1 го рода. Б. ф. .индекса рможет быть определена рядом сходящемся на всей плоскости. Б. ф. индекса рявляется решением соответствующего Бесселя уравнения. При действительных положительных значениях аргумента и индекса (… …   Математическая энциклопедия

  • Бесселя уравнение —         линейное дифференциальное уравнение 2 го порядка вида          x2y’’ + xy’ + (x2 p2) y = 0,          где параметр («индекс») р может принимать произвольные (комплексные) значения (названо по имени Ф. Бесселя (См. Бессель)). К этому… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Функции Бесселя» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.