Функции Бесселя

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,$

где $\alpha$ — произвольное вещественное число, называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя $\alpha$ и $(-\alpha)$ порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по $\alpha$).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

• электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
• теплопроводность в цилиндрических объектах;
• формы колебания тонкой круглой мембраны
• распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.
• скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
• волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми $J_\alpha(x)$, являются решения, конечные в точке $x=0$ при целых или неотрицательных $\alpha$. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых $\alpha$):

$J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}$

Здесь $\Gamma(z)$ — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально $\frac{1}{\sqrt{x}}$, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики $J_\alpha (x)$ для $\alpha = 0, 1, 2$:

Если $\alpha$ не является целым числом, функции $J_\alpha (x)$ и $J_{-\alpha} (x)$ линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если $\alpha$ целое, то верно следующее соотношение:

$J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,$

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений $\alpha$, используя интегральное представление:

$J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau$

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

$J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\,d\tau$

Функции Неймана

Функции Неймана — решения $Y_\alpha(x)$ уравнения Бесселя, бесконечные в точке $x=0$.

Эта функция связана с $J_\alpha(x)$ следующим соотношением:

$Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},$

где в случае целого $\alpha$ берётся предел по $\alpha$, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

$y(x) = C_1 J_\alpha(x) + C_2 Y_\alpha(x).$

Ниже приведён график $Y_\alpha (x)$ для $\alpha = 0, 1, 2$:

Свойства

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах $(0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1})$ и неотрицательных $\alpha$ они выглядят так:^[1]

$J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha$

$Y_\alpha(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right] & \mbox{;}\quad\alpha=0 \\ \\ -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{;}\quad\alpha > 0 \end{matrix} \right.$,

где $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони (0.5772…), а $\Gamma$ — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов ($x \gg |\alpha^2 - 1/4|$) формулы выглядят так:

$J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$

$Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).$

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

$J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).$

Таким образом, при целых $\alpha$ функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

$e^{\frac{z}{2}\left(w-\frac{1}{w}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(z)w^n$

Соотношения

Формула Якоби — Аигера и связанные с ней

Получается выражения для производящей при $a=1$, $t=e^{i\phi}$:^[2]

$e^{iz\sin\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty J_{2n}(z)\cos(2n\phi)+2i\sum_{n=1}^\infty J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi.$

При $a=1$, $t=ie^{i\phi}$:^[2]

$e^{iz\cos\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty i^nJ_n(z)\cos(n\phi).$

Теорема сложения

Для любого целого n и комплексных $z_1$, $z_2$ выполняется^[3]

$J_n(z_1+z_2) = \sum_{k=-\infty}^\infty J_k(z_1) J_{n-k}(z_2).$

Интегральные выражения

Для любых $a$ и $b$ (в том числе комплексных) выполняется^[3]

$\int_0^\infty e^{-at}J_n(bt)\mathrm dt = \frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a)^n}.$

Частным случаем последней формулы является выражение

$\int_0^\infty e^{-at}J_0(bt)\mathrm dt = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

См. также

• Цилиндрические функции
• Сферические функции
• Модифицированные функции Бесселя
• Луч Бесселя

Примечания

1. ↑ Arfken, George B. and Hans J. Weber Mathematical Methods for Physicists. — 6th edition. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0
2. ↑ ^{1 2} Бейтмен, Эрдейи, 1974, с. 15
3. ↑ ^{1 2} Лаврентьев, Шабат, 1974, с. 15

Литература

• Ватсон Г. Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949. — Т. 1, 2.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — 2-е. — м.: Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е.