Нелинейность

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

f(x) = kx + b.

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай $~b=0$ линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от $b \neq 0$ — неоднородных линейных функций.

Свойства

• k является тангенсом угла, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс.
• При k > 0, прямая образует острый угол с осью абсцисс.
• При k < 0, прямая образует тупой угол с осью абсцисс.
• При k = 0, прямая параллельна оси абсцисс
• b является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При b = 0, прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n переменных $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ — функция вида

$f(x)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

где $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n-мерное пространство переменных $x_1,x_2,\dots,x_n$ вещественных или комплексных. При a₀ = 0 линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные $x_1,x_2,\dots,x_n$ и коэффициенты $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — вещественные числа, то графиком линейной функции в (n + 1)-мерном пространстве переменных $x_1,x_2,\dots,x_n, y$ является n-мерная гиперплоскость

$y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

в частности при n = 1 — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X над некоторым полем k в это поле, то есть для такого отображения $f: X\to k$, что для любых элементов $x,y\in X$ и любых $\alpha,\beta\in k$ справедливо равенство

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными (то есть достаточно произвольных), когда хотят подчеркнуть некие свойства, употребляют термин нелинейные функции. Обычно это происходит, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f = kx + b, где $b\neq 0$, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае $f(x_1 + x_2) \neq f(x_1) + f(x_2)$ и $f(c x) \neq c f(x)$. Например, нелинейной зависимостью считают σ(τ) для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

• Логарифмический рост

Ссылки