Мультипликативная группа поля

Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп.

Курсив обозначает ссылку на этот словарь.

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я

P

p-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.

А

Абелева группа. см. коммутативная группа

Аддитивная группа кольца ― группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.

Антигомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что

f(a * b) = f(b) × f(a)

для произвольных a и b в G (сравните с гомоморфизмом).

Г

Главный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором G_i — максимальная нормальная в G подгруппа из G_{i + 1}, для всех членов ряда.

Гомоморфизм групп — отображение групп $f : (G,*) \to (H,\times)$ такое, что

$f(a * b) = f(a) \times f(b)$

для произвольных a и b в G.

Группа

Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера — Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Групповая алгебра группы G над полем K — это векторное пространство над K, образующими которого являются элементы G, а умножение образующих соответсвует умножению элементов G.

Д

Действие группы

Длина ряда подгрупп — число n в определении ряда подгрупп.

Е

Естественный гомоморфизм на факторгруппу по нормальной подгруппе H — это гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому элементу a группы смежный класс aH. Ядром этого гомоморфизма является подгруппа H.

И

Изоморфизм групп — биективный гомоморфизм.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Индекс подгруппы H в группе G — число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы G по этой подгруппе H.

Индексы ряда подгрупп — индексы | G_{i + 1}:G_i | в определении субнормального ряда подгрупп.

К

Класс смежности/смежный класс (левый или правый) подгруппы H в G. Левый класс смежности элемента $g \in G$ по подгруппе H в G есть множество

$gH= \{gh|h\in H\}.$

Аналогично определяется правый класс смежности:

$Hg= \{hg|h\in H\}.$

Класс сопряжённости элемента $g \in G$ есть множество

$\{hgh^{-1}|h\in G\}.$

Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,G] или $G\; '$.

Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть g*h=h*g $\forall g, h \in G$.

Коммутатор элементов g и h есть элемент [g,h] = ghg ^{− 1}h ^{− 1}.

Коммутатор подгрупп — множество всевозможных произведений $\left\lbrace[g, h]| g\in G, h\in H \right\rbrace$.

Композиционный ряд группы G — ряд подгрупп, в котором все факторы G_{i + 1} / G_i — простые группы.

Конечная группа — группа с конечным числом элементов.

Конечная p-группа — p-группа конечного порядка pⁿ.

Конечно определённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.

Конечнопорождённая абелева группа

Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.

Кручение, TorG, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.

Л

Локальное свойство группы G. Говорят, что группа G обладает локальным свойством P, если любая конечно порождённая подгруппа из G обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.

Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства P групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им.

Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

М

Метабелева группа ― группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Минимальная нормальная подгруппа

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

Н

Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть

$N(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.$

Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если $\forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H$.

Нормальный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором G_i нормальна в G, для всех членов ряда.

П

Перестановочные элементы — пара элементов $a,b\in G$ такие что ab = ba.

Период группы ― наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.

Подгруппа кручения см. кручение.

Для произвольного подмножества S в G, <S> обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.

Подгруппа Томпсона J(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами максимального порядка из G.

Подгруппа Фиттинга F(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами из G.

Подгруппа Фраттини Φ(G) группы G — есть пересечение всех максимальных подгрупп группы G, если таковые существуют, и сама группа G в противном случае.

Полинильпотентная группа

Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом $\phi: G \rightarrow \mbox{Aut}(H)$ (обозначается по разному, в том числе G ⋊_φ H) — множество G × H, наделенное операцией *, для которой (g₁,h₁) * (g₂,h₂) = (g₁φ(h₁)(g₂),h₁h₂) для любых $g_1,g_2 \in G$, $h_1,h_2 \in H$.

Порядок группы (G,*) — мощность G (то есть число её элементов).

Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что g^m = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.

Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной {e} и всей группы.

Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.

Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g₁,h₁)(g₂,h₂) = (g₁ · g₂,h₁•h₂).

Р

Расширение группы — группа, содержащая данную группу в качестве нормальной подгруппы.

Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Разрешимый радикал S(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами из G.

Ряд подгрупп — конечная последовательность подгрупп G₀,G₁,...,G_n называется рядом подгрупп, если $G_i \leq G_{i+1}$, для всех $i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G$. Такой ряд записывают в виде

$1=G_0\leq G_1\leq \dots \leq G_n=G$

или в виде

$G=G_n\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_0=1$

С

Сверхразрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.

Свободная группа, порождённая множеством A — это группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.

Свободное произведение

Силовская подгруппа — p-подгруппа в G, имеющая порядок pⁿ, где | G | = pⁿs, НОД(p,s) = 1.

Соотношение — тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при задании группы образующими и соотношениями).

Стабилизатор элемента p множества M, на котором действует группа G — подгруппа $St_G(p) \subset G$, все элементы которой оставляют p на месте: $g\cdot p = p$.

Субнормальный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором подгруппа G_i нормальна в подгруппе G_{i + 1}, для всех членов ряда.

Ф

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:

(aH) * (bH) = (ab)H.

Факторы субнормального ряда — фактор-группы G_{i + 1} / G_i в определении субнормального ряда подгрупп.

Х

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Ц

Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {$g \in G$ | gh = hg для любого $h \in G$},

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, коммутирующая с этим элементом.

Центральный ряд подгрупп — нормальный ряд подгрупп, в котором $G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})$, для всех членов ряда.

Циклическая группа — группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

Э

Экспонента exp(G) конечной группы G — числовая характеристика группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы G.

Я

Ядро гомоморфизма — прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, более того, любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7