Мощность критерия

Ошибки первого рода (англ. type I errors, α errors, false positives) и ошибки второго рода (англ. type II errors, β errors, false negatives) в математической статистике — это ключевые понятия задач проверки статистических гипотез. Тем не менее, данные понятия часто используются и в других областях, когда речь идёт о принятии «бинарного» решения (да/нет) на основе некоего критерия (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может давать ложный результат.

Определения

Пусть дана выборка $\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)^{\top}$ из неизвестного совместного распределения $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$, и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез:

$\begin{matrix} H_0 \\ H_1, \end{matrix}$

где H₀ — нулевая гипотеза, а H₁ — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий

$f:\mathbb{R}^n \to \{H_0,H_1\}$,

сопоставляющий каждой реализации выборки $\mathbf{X} = \mathbf{x}$ одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации:

1. Распределение $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ выборки $\mathbf{X}$ соответствует гипотезе H₀, и она точно определена статистическим критерием, то есть $f(\mathbf{x}) = H_0$.
2. Распределение $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ выборки $\mathbf{X}$ соответствует гипотезе H₀, но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть $f(\mathbf{x}) = H_1$.
3. Распределение $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ выборки $\mathbf{X}$ соответствует гипотезе H₁, и она точно определена статистическим критерием, то есть $f(\mathbf{x}) = H_1$.
4. Распределение $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ выборки $\mathbf{X}$ соответствует гипотезе H₁, но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть $f(\mathbf{x}) = H_0$.

Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно.

		Верная гипотеза
		H0	H1
Результат  применения  критерия	H0	H0 верно принята	H0 неверно принята  (Ошибка второго рода)
	H1	H0 неверно отвергнута  (Ошибка первого рода)	H0 верно отвергнута

О смысле ошибок первого и второго рода

Как видно из вышеприведённого определения, ошибки первого и второго рода являются взаимно-симметричными, то есть если поменять местами гипотезы H₀ и H₁, то ошибки первого рода превратятся в ошибки второго рода и наоборот. Тем не менее, в большинстве практических ситуаций путаницы не происходит, поскольку принято считать, что нулевая гипотеза H₀ соответствует состоянию «по умолчанию» (естественному, наиболее ожидаемому положению вещей) — например, что обследумый человек здоров, или что проходящий через рамку металлодетектора пассажир не имеет запрещённых металлических предметов. Соответственно, альтернативная гипотеза H₁ обозначает противоположную ситуацию, которая обычно трактуется как менее вероятная, неординарная, требующая какой-либо реакции.

С учётом этого ошибку первого рода часто называют ложной тревогой — например, анализ крови показал наличие заболевания, хотя на самом деле человек здоров, или металлодетектор выдал сигнал тревоги, сработав на металлическую пряжку ремня.
Соответственно, ошибку второго рода иногда называют пропуском события — человек болен, но анализ крови этого не показал, или у пассажира имеется холодное оружие, но рамка металлодетектора его не обнаружила (например, из-за того, что чувствительность рамки отрегулирована на обнаружение только очень массивных металлических предметов).

Ниже, в разделе Примеры использования, подробно рассматривается применение понятий ошибок первого и второго рода в различных областях.

Вероятности ошибок (уровень значимости и мощность)

Для проверки статистических гипотез используют так называемые критерии согласия. Для них вероятности ошибок первого и второго рода играют значительную роль.

Вероятность ошибки первого рода при проверке статистических гипотез назывют уровнем значимости и обычно обозначают греческой буквой α (отсюда название α-errors).

Вероятность ошибки второго рода не имеет какого-то особого общепринятого названия, на письме обозначается греческой буквой β (отсюда β-errors). Однако с этой величиной тесно связана другая, имеющая большое статистическое значение — мощность критерия. Она вычисляется по формуле (1 − β). Таким образом, чем выше мощность, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода.

В статистических тестах обычно приходится идти на компромисс между приемлемым уровнем ошибок первого и второго рода. Зачастую для принятия решения используется пороговое значение, которое может варьироваться с целью сделать тест более строгим или, наоборот, более мягким. Этим пороговым значением является уровень значимости, которым задаются при проверке статистических гипотез. Например, в случае металлодетектора повышение чувствительности прибора приведёт к увеличению риска ошибки первого рода (ложная тревога), а понижение чувствительности — к увеличению риска ошибки второго рода (пропуск запрещённого предмета).

Примеры использования

Компьютеры

Понятия ошибок первого и второго рода широко используются в области компьютеров и программного обеспечения.

Компьютерная безопасность

Наличие уязвимостей в вычислительных системах приводит тому, что приходится, с одной стороны, решать задачу сохранения целостности компьютерных данных, а с другой стороны — обеспечивать нормальный доступ легальных пользователей к этим данным (см. компьютерная безопасность). Moulton (1983, с.125) отмечает, что в данном контексте возможны следующие нежелательные ситуации:

• когда авторизованные пользователи классифицируются как нарушители (ошибки первого рода)
• когда нарушители классифицируются как авторизованные пользователи (ошибки второго рода)

Фильтрация спама

Ошибка первого рода происходит, когда механизм блокировки/фильтрации спама ошибочно классифицирует легитимное email-сообщение как спам и препятствует его нормальной доставке. В то время как большинство «анти-спам» алгоритмов способны блокировать/фильтровать большой процент нежелательных email-сообщений, гораздо более важной задачей является минимизировать число «ложных тревог» (ошибочных блокировок нужных сообщений).

Ошибка второго рода происходит, когда анти-спам система ошибочно пропускает нежелательное сообщение, классифицируя его как «не спам». Низкий уровень таких ошибок является индикатором эффективности анти-спам алгоритма.

Вредоносное программное обеспечение

Понятие ошибки первого рода также ипользуется, когда антивирусное программное обеспечение ошибочно классифицирует безвредный файл как вирус. Неверное обнаружение может быть вызвано особенностями эвристики, либо неправильной сигнатурой вируса в базе данных. Подобные проблемы могут происходить также и с анти-троянскими и анти-

Поиск в компьютерных базах данных

При поиске в базе данных, к ошибкам первого рода можно отнести документы, которые выдаются поиском, несмотря на их иррелевантность (несоответствие) поисковому запросу. Ошибочные срабатывания характерны для полнотекстового поиска, когда поисковый алгоритм анализирует полные тексты всех хранимых в базе данных документов и пытается найти соответствия одному или нескольким терминам, заданным пользователем в запросе.

Большинство ложных срабатываний обусловлены сложностью естественных языков, многозначностью слов: например, «home» может обозначать как «место проживания человека», так и «корневую страницу веб-сайта». Число подобных ошибок может быть снижено за счёт использования специального словаря. Однако, это решение относительно дорогое, поскольку подобный словарь и разметка документов (индексирование) должны создаваться экспертом.

Оптическое распознавание текстов (OCR)

Разнообразные детектирующие алгоритмы нередко выдают ошибки первого рода. Программное обеспечение оптического распознавания текстов может распознать букву «a» в ситуации, когда на самом деле изображены несколько точек, которые используемый алгоритм расценил как «a».

Досмотр пассажиров и багажа

Ошибки первого рода регулярно встречаются каждый день в комьютерных системах предварительного досмотра пассажиров в аэропортах. Установленные в них детекторы предназначены для предотвращения проноса оружия на борт самолёта; тем не менее, уровень чувствительности в них зачастую настраивается настолько высоко, что много раз за день они срабатывают на незначительные предметы, такие как ключи, пряжки ремней, монеты, мобильные телефоны, гвозди в подошвах обуви и т. п. (см. обнаружение взрывчатых веществ, металлодетекторы).

Таким образом, соотношение числа ложных тревог (идентифицикация благопристойного пассажира как террориста) к числу правильных срабатываний (обнаружение действительно запрещённых предметов) очень велико.

Биометрия

Ошибки первого и второго рода являются большой проблемой в системах биометрического сканирования, использующих распознавание радужной оболочки или сетчатки глаза, черт лица и т. д. Такие сканирующие системы могут ошибочно отождествить кого-то с другим, «известным» системе человеком, информация о котором хранится в базе данных (к примеру, это может быть лицо, имеющее право входа в систему, или подозреваемый преступник и т. п.). Противоположной ошибкой будет неспособность системы распознать легитимного зарегистрированного пользователя, или опознать подозреваемого в преступлении.^[1]

Массовая медицинская диагностика (скрининг)

В медицинской практике есть существенное различие между скринингом и тестированием:

• Скрининг включает в себя относительно дешёвые тесты, которые проводятся для большой группы людей при отсутствии каких-либо клинических признаков болезни (например, мазок Папаниколау).
• Тестирование подразумевает гораздо более дорогие, зачастую инвазивные, процедуры, которые проводятся только для тех, у кого проявляются клинические признаки заболевания, и которые в основном применяются для подтверждения предполагаемого диагноза.

К примеру, в большинстве штатов в США обязательно прохождение новорожденными процедуры скрининга на оксифенилкетонурию и гипотиреоз, помимо других врождённых аномалий. Несмотря на высокий уровень ошибок первого рода, эти процедуры скрининга считаются целесообразными, поскольку они существенно увеличивают вероятность обнаружения этих расстройств на самой ранней стадии.^[2]

Простые анализы крови, используемые для скрининга потенциальных доноров на ВИЧ и гепатит, имеют существенный уровень ошибок первого рода; однако в арсенале врачей есть гораздо более точные (и, соответственно, дорогие) тесты для проверки, действительно ли человек инфицирован каким-либо из этих вирусов.

Возможно, наиболее широкие дискуссии вызывают ошибки первого рода в процедурах скрининга на рак груди (маммография). В США уровень ошибок первого рода в маммограммах достигает 15 %, это самый высокий показатель в мире.^[3] Самый низкий уровень наблюдается в Нидерландах, 1 %.^[4]

Медицинское тестирование

Ошибки второго рода являются существенной проблемой в медицинском тестировании. Они дают пациенту и врачу ложное убеждение, что заболевание отсутствует, в то время как в действительности оно есть. Это зачастую приводит к неуместному или неадекватному лечению. Типичным примером является доверие результатам кардиотестирования при выявлении коронарного атеросклероза, хотя известно, что кардиотестирование выявляет только те затруднения кровотока в коронарной артерии, которые вызваны стенозом.

Ошибки второго рода вызывают серьёзные и трудные для понимания проблемы, особенно когда искомое условие является широкораспространённым. Если тест с 10%-ным уровнем ошибок второго рода используется для обследования группы, где вероятность «истинно-положительных» случаев составляет 70 %, то многие отрицательные результаты теста окажутся ложными. (См. Теорему Байеса).

Ошибки первого рода также могут вызывать серьёзные и трудные для понимания проблемы. Это происходит, когда искомое условие является редким. Если уровень ошибок первого рода у теста составляет один случай на десять тысяч, но в тестируемой группе образцов (или людей) вероятность «истинно-положительных» случаев составляет в среднем один случай на миллион, то большинство положительных результатов этого теста будут ложными.^[5]

Исследования сверхъестественных явлений

Термин ошибка первого рода был взят на вооружение исследователями в области паранормальных явлений и привидений для описания фотографии или записи или какого-либо другого свидетельства, которое ошибочно трактуется как имеющее паранормальное происхождение — в данном контексте ошибка первого рода — это какое-либо несостоятельное «медиа-свидетельство» (изображение, видеозапись, аудиозапись и т. д.), которое имеет обычное объяснение.^[6]

См. также

• Ложное срабатывание (ошибка первого рода)
• Статистическая значимость

Примечания

1. ↑ Данный пример как раз характеризует случай, когда классификация ошибок будет зависеть от назначения системы: если биометрическое сканирование используется для допуска сотрудников (нулевая гипотеза: «проходящий сканирование человек действительно является сотрудником»), то ошибочное отождествление будет ошибкой второго рода, а «неузнавание» — ошибкой первого рода; если же сканирование используется для опознания преступников (нулевая гипотеза: «проходящий сканирование человек не является преступником»), то ошибочное отождествление будет ошибкой первого рода, а «неузнавание» — ошибкой второго рода.
2. ↑ Относительно скрининга новорожденных, последние исследования показали, что количество ошибок первого рода в 12 раз больше, чем количество верных обнаружений (Gambrill, 2006. [1])
3. ↑ Одним из последствий такого высокого уровня ошибок первого рода в США является то, что за произвольный 10-летний период половина обследуемых американских женщин получают как минимум одну ложноположительную маммограмму. Такие ошибочные маммограммы обходятся дорого, приводя к ежегодным расходам в 100 миллионов долларов на последующее (ненужное) лечение. Кроме того, они вызывают излишнюю тревогу у женщин. В результате высокого уровня подобных ошибок первого рода в США, примерно у 90-95 % женщин, получивших хотя бы раз в жизни положительную маммограмму, на самом деле заболевание отсутствует.
4. ↑ Наиболее низкие уровни этих ошибок наблюдаются в северной Европе, где маммографические плёнки считываются дважды, и для дополнительного тестирования устанавливается повышенное пороговое значение (высокий порог снижает статистическую эффективность теста).
5. ↑ Вероятность того, что выдаваемый тестом результат окажется ошибкой первого рода, может быть вычислена при помощи Теоремы Байеса.
6. ↑ На некоторых сайтах приведены примеры ошибок первого рода, например: Атлантическое Сообщество Паранормальных явлений (The Atlantic Paranormal Society, TAPS) и Морстаунская организация по Исследованию Привидений (Moorestown Ghost Research).